A térbeli görbe görbülete és torzítása

Hagyja, hogy a görbe egy intervallumban egy függvény legyen. Hagyja, hogy a görbe elég sima legyen.

Definíció 1. A vektort tangens vektornak nevezik. A binormális vektor termék. A fő normál a tangens és a binormális vektorterméke.

Definíció 2. Egy érintő sík az érintő és a fő normál síkja. A normál sík a fő normális és a binormális síkja. Az igazítási sík a binormális és az érintő sík síkja.

Meghatározás 3. A kísérő trihedron három egyenes és három sík halmaza a fenti meghatározásokból.

Megjegyzések 1. Vektoron és ponton egyenes vonalat lehet létrehozni, így: - egy pont egy vonalban, - egy irányító vektor, akkor egy egyenes egyenlete lesz.

Megjegyzések 2. Két vektor és egy pont esetében meghatározható a sík egyenlete determináns formában. Legyen egy pont, és legyen a vektor a repülőgép. Ezután a sík egyenlete így néz ki:

Bemutatjuk a vektorokat. Természetes paraméterezést vezetünk be az ív hossza mentén. . a görbe hossza az elejétől kezdve. Ezután a természetes paraméterezésben a vektorok:.

Tekintsük. Ez a vektorfüggvény forgási sebessége (a szög módosításának sebessége). Ezt bizonyítani lehet.

Megjegyzések 3. Megmutatható, hogy ha - vektor állandó hosszúságú, akkor merőleges. Ezt a tényt korábban használták, amikor azt mondják, hogy merőleges. és ez merőleges. És könnyű bizonyítani :.

Most bizonyítjuk a Frenet képleteket:

Az első egyenlőség nyilvánvaló :. mert. További. mert. így vektorterméke nulla. Továbbá megjegyezzük, hogy a vektor merőleges az érintő vektorra és a vektorra, amely merőleges a fő normálra, ezért a fő normálértékhez kapcsolódik. Az arányossági együttható jelölése. kapunk. Most fontold meg.

Megjegyzések 4. Az együtthatót görbületnek nevezik. A görbe egyszerű és csak akkor, ha a görbület nulla. A torziós együttható. A görbe sík, ha és csak akkor, ha a torzió nulla.

Megjegyzések 5. A következő képletek segítik a gyakorlatban a görbület és a torzió kiszámítását.