Segíteni a gouge
Lineáris leképezés és transzformációk mátrixai véges dimenziós terekhez. A lineáris transzformációk műveletei koordináta formájában. Lineáris térkép mátrixának módosítása a bázisok cseréje alatt.
A leképezések koordinálása. Tekintsük az n és az m dimenziójú Y és Y 'lineáris tereket és egy lineáris leképezést: Y -> Y'. Legyen e1e2..s legyen Y alapja. Akkor egy x = e1 + ... + en tetszőleges vektor képét bontja egy lineáris kombinációba
Ezért egy (x) megtalálható a koordinátái x, ha tudjuk, hogy a képek alapján vektorok (e1) .. A (EN).
Választhatunk egy alapot az Y 'térben is. Legyen ez f1 ... fm. Az alapvektorok mindegyik képét kibővíthetjük f.
Ha az A (x) vektor komponenseit h 1. hm jelöli, akkor (3) újraírható
Ezért a bázisság egyediségének alapja
Ha egy A mátrixot alakítunk ki számokból, akkor az egyenlõségek (4) mátrix formában írhatók
Itt, a kép koordináta oszlopon x vektor (a bázis f) van kifejezve a termék a mátrix n m nagyságú az oszlopon koordináta x vektor a bazive e.
Az Y Y 'terekben választott bázisokkal az n m méretű mátrixok mindegyike Y -> Y' lineáris leképezés mátrixaként szolgál.
4. javaslat: A lineáris leképezés mátrixának rangja megegyezik a leképezés rangjával.
Bizonyítás. Legyen j 1. j r alapvető számok az oszlopok az A mátrix lineáris leképezés A. Ezután a vektorok A (E_ j1) ... A (e _ JR) lineárisan független és az egyes vektorok (e i) (i = 1 N) elbomlik rajta. Ezért tudjuk bővíteni a kép egy (x) bármely vektor A csak (e- j1) ... A (e- jr). Így ezek a vektorok alapul szolgálnak az ImA-ban. és számuk megegyezik az A. rangsorával.
5. Tétel: A leképezés rangjának és a rendszermag dimenziójának összege megegyezik a leképezett tér dimenziójával.
Bizonyítás. Az (5) képlet szerint a leképezés kernelét ismeretlen függvények lineáris egyenletrendszerével határoztuk meg. A rendszer mátrixának rangja megegyezik a térképezés r sorával. Ennek a rendszernek a megoldásai alapvető rendszere a d = n - r megoldásokból áll, amelyek a magok alapját képező vektorok koordináta oszlopai.
Lineáris leképezés mátrixának megváltoztatása a bázisok cseréjekor
Vegyük figyelembe az Y helyének és az y = A (x) képének önkényes x vektorát. Legyen x koordináta oszlopait a bázisok e és e „illetve keresztül az oszlopok és a koordináta y a bázisok F és F” a-h és h »hivatkozva képletű átmenetet egy új alapon Behelyettesítve ezeket a kifejezéseket (5) egyenletben megkapjuk a Ph« = AS. Mivel az átmeneti mátrix az inverz h '= AS. De az (5) képlet szerint h '= A' Mivel egy adott pár bázis lineáris leképezésének mátrixa egyedülálló,
A lineáris térkép mátrixának kanonikus alakja
Minden olyan lineáris A: Y → Y rangsorolásnál, ahol r van, Y Y-ban lehet bázisokat választani, hogy van egy mátrixa
Ahol Er a r rendeltetési egység mátrixa. Ha a többi elem egyenlő 0-val.
Bizonyítás. Helyezzük a vektorokat. alapja az Y térségnek Ker A-ban (dimenziója csak n-r), és a vektorok ... önkényesen választhatók. Tekintettel erre a választásra, bármilyen alapon Y 'az A mátrix utolsó n-r oszlopa nulla lesz. Mivel RgA = r, az első oszlopoknak lineárisan függetleneknek kell lenniük. Ezért az A () vektorok lineárisan függetlenek. A (). Az Y 'térben az első r alapú vektorok és az otasális vektorok. Ezt az alapot önkényesen választjuk. Ezzel a választással az első r oszlopok a m sorrend m mértékegységének első r oszlopai. Ez a keresett forma.