Znaev professzor - a matematika lecke absztraktja a 11. évfolyamban - testtömegek - a simpson formula segítségével
A 11. évfolyamon dolgozva észrevettem, hogy a tanulók nehezen alkalmazzák az integrált ilyen célokat, megkérdezik, hogy lehetséges-e más módon. Természetesen te is tudsz. Az egyik lehetőség a Simpson formula. (Simpson Thomas (1710-1761) - angol matematikus)
Hogyan? Hadd adjak egy lehetséges sorrendet az elmélet tanulmányozására:
1. A kötet fogalma. A kötet tulajdonságai. (LS Atanasyan).
2. Egy négyszögletes párhuzamos (LS Atanasyan) térfogata.
3. A definíciós integrátumot használó testek térfogatának kiszámítására szolgáló képlet (LS Atanasyan, de csak magának a képletnek a bevezetése, csak a következő pontra használható).
4. A piramis mennyisége.
a) Bizonyítsuk be, hogy a háromszög alakú piramisok egyenlő bázisokkal és egyenlő magasságokkal egyenlőek (ez könnyen elvégezhető, például ugyanazt a képletet használva a testtérfogatok kiszámításához meghatározott definíció segítségével);
b) általános képletű térfogata, egy háromoldalú piramis, amely három, egymásra kölcsönösen merőleges élei származó egy csúcsot (levezetni, a „komplementer”, hogy egy háromszög alakú piramis derékszögű paralelepipedon);
c) Egy tetszőleges háromszögletű piramis térfogata (a) alapján;
d) Az önkényes piramis térfogatának képlete (tetszőleges piramis háromszögletű piramisokra osztva).
5. Prizmatoid. Simpson képletét.
6. Formulák származéka az összes többi testnek a Simpson-formulát használva, beleértve a golyó részeit is.
Például a képletnek a gömbszegmens térfogatához való származtatása:
Ez az elmélet tanulmánya időt hagy a problémák megoldására. Az érdeklődő diákok arra a tényre utalnak, hogy egy képlet lehetővé teszi, hogy az összes többiet kiadja, hogy elég csak emlékezni rá. És ha elfelejtenél valamit, akkor könnyen beszerezhető a Simpson-képletből. Egyébként ezt a képletet a Ya.I. Perelman "Szórakoztató geometria".
Itt van egy kivonat a fent említett könyvből. Bavrina, V.A. Sadchikova "új problémák a sztereométerben" a primitív szimpson formulájának bizonyításával.
"A prismatoid egy poliéder, amelynek csúcsai két párhuzamos síkon helyezkednek el. Az ezeken a síkon található arcokat a prismatoid alapjainak nevezik.
Ez nem ellentmond a prismatoid definíciójának, ha a poliéder, amelyben a felső és alsó bázisok poly-poligonok különböző nevekkel rendelkeznek, és az oldalsó arcok háromszögek, akkor a prismatoidot nevezzük.
Az ábrán az A1 A2 A3 poligon látható. Egy - a prismatoid felső bázisa, ennek a bázisnak a területét Sv jelöli; a poligon B1 B2 B3 ... Bm a prismatoid alsó része, ennek a bázisnak a területét Sn jelöli; a C1 C2 C2 sokszög. Ck az prismatoid átlagos része, ennek a szakasznak a területe Scp; a prismatoid magasságát H jelöli.
Nyilvánvaló, hogy a prismatoid középső szakaszának síkja metszi az oldalirányú éleket középponti pontjukban, vagyis a középső határ a prismatoid oldalfelületeinek középvonalain halad át. Mivel a középső rész síkja párhuzamos a prismatoid alapjaival, ez a sík a prismatoid H magasságának közepén is áthalad, ami az ábrán H / 2 távolságok formájában tükröződik.
A Simpson képletének származtatása. Az átlagos keresztmetszet síkjában, С1 С2 С3. Ck egy tetszőleges P pontot választunk. Ezt a pontot összekötjük a prismatoid minden csúcsával. Ennek eredményeként a P pont tekinthető a piramis-készlet közös csúcsának. A prismatoid három típusú piramis kombinációjának tekinthető:
1) piramisok P csúcsával és A1 A2 A3 bázissal. AN.
2) piramisok a P csúcs és a bázis В1 В2 В3 ... Вm.
Tudva, hogy a piramis térfogatát a V = (1/3) Sh képlet adja meg, könnyen meghatározható az eredeti prismatoidot alkotó három típusú piramis mindegyikének mennyisége:
3) Vegye figyelembe az egyik oldal piramisát, például a piramis PA1 B1 B2. Ennek a piramisnak a mennyisége
Hasonlóképpen elképzelhető a fennmaradó "oldal" piramisok mennyisége is.
Még mindig megtalálni az összes "oldalsó" piramis kötetének összegét.
Összefoglalva a piramis-készlet kötetét a P csúcs csúcsaival, megkeressük a prismatoid térfogatát: