Particionálási számok
Leonard Euler (1707-1783). YE Handmann munkás portréja, 1753 Kép az oldalon en.wikipedia.org
Euler tétele: az N számú partícióinak száma a párhuzamos elkülönített összegekbe ("szigorú partíciók") megegyezik az N partícióinak számával páratlan összegekké ("páratlan partíciók").
Az eszközleírásban egy olyan eljárást adtak meg, amely lehetővé teszi egy szokatlan partíció megszerzését. Ehhez minden, a partíciót különféle kifejezésekbe beírandó páros számokat fel kell osztani, vagyis két egyenlő fél összegét kell képviselni. Ezután ismételje meg ezt a folyamatot, amíg nincsenek egyenletes számok.
Például, a partíció 75 = 18 + 15 + 13 + 9 + 8 + 7 + 4 + 1 kap 15 + 13 + 9 3 + 7 + 1 13., ahol a felső indexek megjelölés nem hatványozás, és az ismétlések számát a kifejezés (azaz valójában multiplikátor, de a partíciók matematikai irodalmában ez a jelölés rendeződött).
Egy ilyen levelezés egyenkénti megfeleltetésének bizonyítása érdekében most meg kell magyarázni, hogyan állíthatja vissza az eredeti szigorú egy különös partícióval (például 15 + 13 + 9 3 + 7 + 1 13). Azok a furcsa számok, amelyek csak egyszer fordulnak elő, minden világos - az eredeti partícióban voltak. De ami kiderült, 9 3. Mivel az ismétlések száma páratlan, a partícióban a 9. szám volt. Ezenkívül 9.2 marad, amely csak a 18. számból származhatott. Tehát visszaállította a 9 3 ← (9, 18). Hasonló módon az 1 13:
1 13 ← (1, 2 6) ← (1, 4 3) ← (1, 4, 4 2) ← (1, 4, 8).
Már megértette a mintát? Ez olyan egyszerű, mint amilyen szép mindegyik „index” van írva összegeként különböző hatáskörök két (azaz kiadott bináris jelölés), ami után a rendelkezésre álló egyes fok megfelel ő ideje az eredeti „szigorú” partíciót. Ez akkor válik világossá, ha figyelembe vesszük, hogy az egyik még a kifejezés szigorú partíció csak kap 2, 4, 8, 16, stb furcsa - .. Vagyis a „hozzájárulás” az egyes kifejezések a teljes összeg mindig ereje két, és így mivel nincs egyenlő feltétel, akkor minden fok különböző.
James Whitbread Lee Glacier (1848-1928). A kép ru.wikipedia.org webhelyről
Ez figyelemre méltó levelezés feltalálták a késő XIX századi angol matematikus James Whitbread Lee Glaisher (sajnos, az ő kutatási eredmények főként a terület a matematika, hogy nem tanítják semmilyen középiskolában, vagy akár a nem matematikai középiskola, így a nagyközönség teljesen ismeretlen). Mindazonáltal ő kapta a két nagyon fontos matematikai kitüntetés idejével - a De Morgan-érem 1908 (ez a legmagasabb díjat a London Mathematical Society, az oda háromévente) és Sylvester-érem 1913-ban (a legmagasabb díjat a Royal Society).
A furcsa válaszfalak problémáján Glaiser érdeme az, hogy nem csupán a megoldás új megközelítésével jött létre, hanem figyelemre méltó általánosságot is felvetett a probléma:
Glaxer tétele: Az N egész számának partícióinak száma olyan részekre, amelyek nem osztódnak meg egy d számmal, egyenlő az N partícióinak számával olyan kifejezésekkel, amelyekben a részeket nem ismételjük többször.
De a történet közötti megfelelések a páratlan és a szigorú válaszfalak bizonnyal hiányos nélkül említést egy másik figyelemre méltó levelezés közöttük által kitalált James Joseph Sylvester (tehát akiről a nevét az érem a fent említett).
James Joseph Sylvester (1814-1897). A kép ru.wikipedia.org webhelyről
Szilveszter nyilvánvalóan az első matematikus volt, aki a számok bontását ellenőrző képek segítségével kifejezésre bontotta. Ezt követően ezeket a képeket két másik brit matematikus, fiatalabb kortársak, J. Sylvester tiszteletére nevezték "Fiatal diagram" vagy "Ferrers diagram".
Legyen egy partíció páratlan összegekbe. Sylvester javasolt felhívni egy diagram, amelyben ez a kifejezés megfelel a vízszintes sorok (vonalak), és van szimmetrikusan a soraiban a központ (ez lehet tenni, köszönhetően az összes feltételt Páratlan, ábra. 1). A levelezés megalapozásához a "horgokat" tekintette, amelyeket az 1. ábrán váltakozó színsorok képviselnek. Az első horog az aljától a középső sorig a felső sorig megy, majd tovább halad a jobb oldalon. A következő horog - a bal oldali sor mellett, ismét a felső sorba, majd az első sor mentén a baloldali végig. Ezután - ismét a horog a jobb oldalon, de már a második sorban, és így tovább. Az eredmény már ismeri a megfelelés Glacier partíció (18, 15, 13, 9, 8, 7, 4, 1). Nem szép? Sajnos Sylvester nem adott Slyvesternek ugyanazt a szép visszatérést. Ehelyett egyszerűen algebrai bizonyítékot adott arra, hogy egy ilyen levelezés egy-egy.
By the way, Sylvester nem korlátozódik egyetlen új megfelelőségi és egyidejűleg azonos tanulmány bebizonyította, és számos más új tények a páratlan és a szigorú partíciót. Különösen talált egy összefüggés a válaszfalak páratlan tartalmazó pontosan k különböző számot, és a partíciók különböző számokat tartalmazó pontosan k «lánc” - aiszekvenciái egymást követő természetes számok. Ez a következő tételhez vezetett.
Sylvester tétele (1882) Az N számú partícióinak darabszáma páratlan részekre, amelyek közül pontosan k különbözõ számok egyenlõek az N partíciók számához a különbözõ részekbe, ahol pontosan a k láncok találkoznak.
Nyilvánvaló, hogy az eredeti Euler-eredmény Sylvester tételének következménye - egyszerű kiegészítés minden k esetében.
Rajzolja fel a partíció képét különböző részekre, kezdve a legkisebb részekkel, vagyis az egységtől: 1 + 4 + 7 + 8 + 9 + 13 + 15 + 18 (2. ábra). Ha a részek száma páratlan, akkor adja hozzá a legkisebb részt 0-nak. Adja az első részt az első sorba, az alatta lévő sor második részét, és illessze az első sor bal széléhez. A harmadik részt a harmadik sorba tesszük, de a második sorhoz igazítjuk jobbra, és így tovább, váltakozva a jobb és a bal oldali széleken. Mivel minden rész különböző, ezért az összes függőleges él (bal és jobb), az utolsó kivételével, magassága 2.
Ezen túlmenően, zsírsav húzzon egy függőleges vonalat - elválasztó - bizonyos távolságra a jobb szélétől egyenlő a részek összege a váltakozó d = 18 - 15 + 13 - + szeptember 8-7 + 4 - 1 = 11. Ezután az összes oszlop a jobb a szeparátor tartalmaznak páratlan számú sejtek ( után a függőleges elem az egyik az alsó sorban, és még számos más sorok), és úgy tekinthető, mint az összege páratlan kifejezések: 7 + 7 + 7 + 5 + 3 + 3 + 3 + 3 + 1 + 1 + 1 (ezek a számok aláírta az első sorban az elválasztó jobb oldalán lévő diagram alapján). Ebben az esetben minden egymást követő páratlan szám 1-től 7-ig legalább egyszer előfordul. Következésképpen, egy 1 felveheti a sejtek száma a pár az alsó sorban, hogy a bal oldalon a szeparátor (azaz, 14), 3 - a sejtek számát egy pár ilyen vonalak (10), hogy 5 - sejtek a következő pár (8), és a 7 - A sejteket az utolsó sorpár (2). Ezeket a kifejezéseket a diagram alatti második sor aláírja. Végül a harmadik sorban az első és a második sor összegei szintén furcsaak, mivel a teljes második sor egyenletes számokat tartalmaz. Nyilvánvaló, hogy minden sejt chart tekinthető pontosan egyszer - sejtek a jogot az elválasztó szereplő szempontjából az első sorban. És a szétválasztó bal oldalán lévő cellák a második sor feltételei közé kerültek. Így megkaptuk a levelezést a különböző összegek és páratlan összegek között, és ugyanazt a megfelelést, amelyet Sylvester javasolt.
És hogyan lehet felépíteni a fordított levelezést? Method Kim - És itt sok tekintetben megismétli a Sylvester módját, de talán még természetesebbnek tűnik.
Írunk csökkenő számsorozatot páratlan partíció (a1 = 15, a2 = a3 = 13, a4 = 9, a5 = a6 = 7, a7 = a8 = a9 = 3, A10 = A11 = 1), és 1 kivonása az első tag, a második - 3, a harmadik - 5, és így tovább, amíg a különbségek pozitívak. Azaz, írunk az egyenlet 1 + 15 = 14, 13 = 3 + 10, 13 + 5 = 8, 9 = 7 + 2 Ez azonnal megadja a helyes partíciót a görbe a harmadik sorban az első és a második. Ezután az összes, az első sorban a diagram gyors előre a jogot az elválasztó, és minden páros számú a második sorban, a „mi kell határozni” a két vonal a bal oldalon a szeparátor. Ennek eredményeképpen kapunk egy diagramot, amelyben az alsó sor lesz a leghosszabb, és minden következő sor rövidebb lesz, mint az előző. Összefoglalva a diagramok celláit sorokban, akkor a partíciókat különböző összegekhez kapjuk.
Kim - I eredménye - annak ellenére, hogy valójában egyszerűen újrafogalmazta Sylvestert - egy olyan elhatároló fogalmát használja, amely nem volt eredeti. Tehát lehetővé teszi számunkra, hogy erősebb tényt bizonyítsunk. De meglepő, hogy még ez sem, de az a tény, hogy ezt a tényt több évvel korábban felfedezték, mint egy koreaiakból készült szép kép.