Cheat sheet for higher mathematics (3) - cheat sheet, 10. oldal
A trigonometrikus függvények univerzális trigonometrikus helyettesítésével.
Vizsgáljuk meg néhány esetet, amikor megtaláljuk a trigonometrikus funkciók integrálját. A sin x és cos x változókkal való függvényt, amelyen a racionális műveletek (addíció, kivonás, szorzás és megosztás) elvégzésére általában R (sin x, cos x) jelölik, ahol R az ésszerű függvény jele.
A határozatlan integrálszámok kiszámítása a pionionos függvény integráljának számításával történik. amelyet univerzálisnak hívnak.
,
ahol R1 (t) egy t racionális függvénye. Általában ez a módszer nagyon nehézkes, de mindig az eredményhez vezet.
A gyakorlatban más egyszerű helyettesítést alkalmaznak, az integrand funkció tulajdonságaitól (és típusától) függően. Különösen a következő szabályok alkalmazhatók:
1) ha az R (sinx, cos x) függvény páratlan a sinxhez képest, azaz R (- sinx; cos x) = - R (sin x; cos x), akkor a szubsztitúciós cosx = t racionalizálja az integrált;
2) ha az R (sinx, cos x) függvény páratlan a cosx vonatkozásában, azaz R (sinx; -cosx) = -R (sinx; cosx), akkor a szubsztitúció sinx = t;
3) ha a funkció R (sin x; cos x) még viszonylag sinx és cosx R (- sin x; - cos x) = R (sin x; cos x), akkor az integrál ésszerűsíteni szubsztitúciós TGX = t. Ugyanaz a helyettesítés akkor használatos, ha az integrálnak van az űrlapja
Példa Keresse meg az integráltat
Megoldás: Univerzális helyettesítést végzünk, majd dx = ,,. ezért
Néhány speciális trigonometrikus szubsztitúció.
Az ∫sinmx típusok integrációja • cosnx dx
Az ilyen integrálok megtalálására a következő módszereket használják:
1) a szubsztitúció sinx = t, ha n egy pozitív egész szám páratlan egész;
2) a szubsztitúciós cosx = t, ha m pozitív egész szám páratlan egész;
3) általános képletű csökkentése érdekében: cos 2 x = 1/2 (1 + cos2x), sin 2 x = 1/2 (1-cos 2x), sinx-cosx = 1/2 sin2x, ha a típus - nemnegatív páros számok;
4) a helyettesítés tg x = t, ha m + n - egy egyenletes negatív egész szám.
Példa Keresse meg az integráltat
Megoldás: Alkalmazza a helyettesítést sinx = t. Ezután x = arcsint, dx ÉS
Trigonometrikus transzformációk használata
A típus integrálását a jól ismert trigonometriai képletek segítségével számítjuk ki:
Példa Keresse meg az integráltat
Az irracionális kifejezések integrációja.
Vegyünk figyelembe néhány irracionális funkciót tartalmazó integrálistípust.
A típus integrációit kvadratikus irracionalitások határozatlan integráljaként nevezik. Ezek megtalálhatók a következő módon:
a radikális alatt egy teljes négyzet kiosztására
és tegyük a helyettesítést x + b / 2a = t. Az első két integrál táblázatosra, a harmadik pedig a két tábla integrálok összegére korlátozódik.
Példa Az integrálok megtalálása
Megoldás: Mivel,
A helyettesítést x + 1/4 = t, x = t-1/4, dx = dt. majd
Azon típusú integrálok, ahol Pn (x) egy n fokú polinom, kiszámítható a képlet segítségével
ahol Qn-1 (x) az n-1 fokú polinom, amely meghatározatlan együtthatókkal rendelkezik, szintén határozatlan koefficiens.
Minden határozatlan koefficiens megtalálható a (1) mindkét oldalának differenciálásával kapott identitásból:
utána szükséges az azonos x tényezőkkel egyenértékű együtthatók kiszámítása.
Példa Keresse meg az integráltat
Megoldás: Az (1) képlet segítségével:
Eltérő egyenlőséget különböztetünk meg:
Hasonlítsuk össze az együtthatókat ugyanolyan hatáskörökkel, mint x:
Ezért A = -1 / 2, B = 3/2, = 2. ezért
A típus azon integrái, ahol a, b, c, d valós számok, , . , természetes számok, csökkentve a racionális függvény integrálta helyettesítéssel, ahol K a frakcionális nevezők legkisebb közös többszöröse
Valójában a helyettesítésből következik, hogy u
azaz x és dx a t racionális függvényében fejeződnek ki. Továbbá, a frakció minden foka egy t racionális függvényében fejeződik ki.
Példa Keresse meg az integráltat
Megoldás: A frakcionális nevezők legkisebb közös többszöröse (2/3 és 1/2) 6.
Ezért beállítjuk x + 2 = t 6. x = t 6 -2, dx = 6t 5 dt, ezért,
Példa Mutassa be az integrálok megtalálását:
Megoldás: Az I1 helyettesítéshez x = t 2. az I2 helyettesítéshez
A típus integrálja a függvények integrálására, amelyek racionálisan függenek a trigonometrikus függvényektől, a következő trigonometrikus permutációk alkalmazásával: x = a • sint az első integrálhoz; x = a • tgt a második integrálhoz; a harmadik integrálhoz.
Itt az integrandus egy racionális függvény x és kiosztása radikális és töltse ki a téren, hogy a szubsztitúció, a integrálok az ilyen típusú, hogy integrálok már pascmotpennogo típusú t. E. A integrálját típusú Ezeket integrálok lehet kiszámítani a megfelelő trigonometrikus helyettesítések.
Példa Keresse meg az integráltat
Megoldás: Mivel x2 + 2x-4 = (x + 1) 2 -5, akkor x + 1 = t, x = t-1, dx = dt. Ezért állunk
Megjegyzés: A típus integrálja az x = 1 / t helyettesítés segítségével.
Differenciál binomiális integrálása
A típusú integrálok (differenciál binomiális integrálok), ahol a, b valós számok; m, n, p racionális számokat csak akkor kapunk, ha a p, (m + 1) / n vagy (m + 1) / n + p számok közül legalább az egyik egész szám.
Az integrál racionalizálását ebben az esetben az alábbi helyettesítésekkel végezzük:
1) ha p egész szám, akkor a helyettesítés x = t k. ahol k az m és n frakciók nevezõinek legkisebb közös többszöröse;
2) ha (m + 1) / n egy egész szám, akkor a helyettesítés, ahol s a p frakció nevezője;
3) ha (m + 1) / n + p egy egész szám, akkor a helyettesítés, ahol s a d.
Minden más esetben az integrálokat nem az ismert elemi függvények, vagyis "nem vállalnak".
Példa Keresse meg az integráltat
Megoldás: Mivel
Ezért helyettesítjük