1. melléklet
1.1 szakaszban. meghatározzák
Az egység impulzusfüggvény, amelyet Dirac delta függvénynek is neveznek, definíció szerint, egyenlő a végtelenséggel, ha az argumentuma nulla, és az argumentum fennmaradó értékeihez nulla, a grafikon alatt lévő terület pedig egység,
Továbbá gyakran kívánatos meghatározni ezt az impulzusfunkciót úgy, hogy az az argumentuma egyenletes funkciója:
Tegyük fel, hogy az egység impulzusfunkció integrálható az intervallum alatt. A beépítés eredménye nulla, fele vagy egy, attól függően, hogy ennek megfelelően kisebb vagy egyenlő,
hol a funkció ugrás:
Így az egység ugrásának funkciója az egység impulzusfunkciójának szerves része, ezért az egység impulzusfunkciót az egység ugrás funkciójának származékaként tekinthetjük. És így,
Az egyetlen impulzusfunkciót és az egység ugrás funkciót az 1. ábra mutatja. P. 1.1.
Ábra. P. 1.1. Egyszeri funkciók: a - egység impulzus funkció; b az egység ugrásának funkciója.
Bár a matematikai szempontból az impulzusfüggvény meghatározása nem teljesen helyes, tulajdonságai gyakran nagyon hasznosak. Például egyetlen impulzusfunkció segítségével kiterjesztettük a valószínűségi sűrűség fogalmát diszkrét véletlen változók esetén. Annak érdekében, hogy egyetlen impulzusfunkciót, vagy pontosabban az általunk segítséget nyújtó műveleteket bevezethessünk, ésszerűbbé váljon, gyakran kényelmesen tekintjük az egység impulzusfunkcióját a rendes funkciók végtelen sorozata határainak.
Tekintsünk egy négyszögletes impulzusfunkciót
hol. Ezt a funkciót az 1. ábrán mutatjuk be. P. 1.2. Ő számára mindenkinek
Ha most azt feltételezzük, hogy az impulzusszélesség nulla lesz, akkor a magasság a végtelenségig megy, és az alatta lévő terület
a grafikon állandó marad, és egyenlő egy. Így az egység impulzusfüggvény a téglalap alakú impulzusfunkciók sorának tekinthető:
A téglalap alakú impulzus funkció az impulzus funkció egyszerű és kényelmes prototípusa, de nem folytonos.
Ábra. P. 1.2. a a téglalap alakú impulzusfunkció; b a Gauss impulzusfunkció.
Bizonyos problémák esetén kényelmesebb olyan funkciókat használni, amelyek prototípusként tartalmaznak származékokat. Ezek közül az egyik a Gauss impulzusfunkció
ahol ezt a funkciót a 3. ábra is mutatja. P. 1.2. Minden értéknél
Továbbá a, a magasság végtelennek tűnik, és a szélek nullához közelednek. Így a Gauss-impulzus függvény határértéke megfelel az egység impulzusfüggvény meghatározásának, és
Cikkely 1.2. Delta funkcióval rendelkező integrál
ahol a függvény egy ponton folytatódik.Az egység impulzusfunkció tulajdonságai szerint az I integrand csak egy ponttól nullától különbözik, tehát az integrál csak az értéktől függ, és tudunk írni
Ezért a (1.2) használatával rendelkezünk
Tehát ahhoz, hogy kiszámítsuk az adott funkció termékének integrált részét az egység impulzus függvényére egy ponton, egyszerűen ki kell számolnunk az adott funkció értékét abban a pontban.
1.3 cikkely. Fourier átalakul
Az egység impulzus funkció Fourier transzformációja:
Az előző részben leírtak szerint,
Az inverz Fourier-transzformáció formális alkalmazása
Az (1.3) és az (1.14) egyenletekből látható, hogy mind az egység impulzusfüggvénye, mind a Fourier-transzformáció egyenletes
Az egyenlőség és az identitás szerint
megkapjuk a Fourier transzformációk párját
Mivel mind a két impulzus akár függvény is, az utolsó egyenletek újraírhatók a formában
Cikkely 1.4. Impulzus funkciók származékai
Az egyenlõségek szerint a téglalap alakú impulzusfunkció az egység ugrásának függvényében kifejezhetõ:
következésképpen annak származékai szerint
Most a származék termékét integráljuk valamilyen funkcióval, amelynek folyamatos származéka van a ponton. Az egyenlőség (A.1.11) használatával megkapjuk
Ennek a kifejezésnek a határa, amely megegyezik a
Az egység impulzusfüggvény deriváltját az egyik prototípusának származékának megfelelő határértékeként határozzuk meg; például,
Aztán újraírhatjuk az (A.1.22) formát
Következésképpen egy adott függvénynek a folytonos származékhoz tartozó termékének integrált értéke az egység impulzusfüggvény származékára vonatkoztatva a ponton megegyezik az adott függvény származékának értékével ebben a pontban az ellenkező jelkel.
Hasonlóképpen, az egység impulzusfüggvény deriváltja definiálható az egyik prototípusának határértékeinek. Ebben az esetben kimutatható, hogy ha van egy folytonos származéka a ponton, akkor
Ezért az egység impulzusfüggvény deriváltjának Fourier transzformációja