Mérési és valószínűségi mérték
Definíció 14. Let # 151; néhány set és # 151; algebrai alcsoportjai. A függvényt akkor nevezik egy intézkedésnek, ha megfelel a következő feltételeknek:
(1) minden intézkedés esetében az intézkedés nem negatív :;
(2) minden párosított diszjunktúra-készlet (azaz mindenki számára) megszámlálható sorozata esetén az egyesülésük mértéke megegyezik az intézkedéseik összegével:
("Countable additivity" vagy "sigma-additivitás").
Tegyük fel, # 151; összes alcsoportot. Az intézkedést úgy állítjuk be, hogy: ,,,,,,,. A rövidség kedvéért mindannyian írtunk.
Tegyük fel, # 151; a természeti sorozat összes alcsoportjának készletét. Az intézkedést az alábbiak szerint állítjuk be: # 151; egy sorban lévő elemek számát (vagy végtelen, ha a készlet nem véges).
16. példa (Lebesgue-mérés (1)). Amikor beszélgettünk geometriai valószínűség, azt használta a „intézkedés terén”, utalva a „hossz” a vonal „terület” a gépen, „volume” a háromdimenziós térben. Vannak ezek a „hossz nm-kötet” a jelenlegi intézkedések abban az értelemben, 14. fogjuk megoldani ezt a problémát egy egyenes, így a sík és a tér a magasabb dimenzió az olvasó.
Az igazi vonalat a Borel-készletek algebrájával tekintjük. Ez az algebra definíció szerint a legkisebb algebra, amely minden intervallumot tartalmaz. Minden egyes intervallumnál a számot az intervallum hosszának nevezzük.
Nem fogjuk bizonyítani a következő állítást:
1. lemma. Egyetlen egyedi mérés létezik, amelynek értéke bármely időközönként megegyezik a hosszával:. Ezt az intézkedést Lebesgue-intézkedésnek nevezzük.
Megjegyzés 7. Ez annak a következménye, a tétel a Caratheodory (2), hogy továbbra is az intézkedések algebra algebra alkalmazása a. Eljárás alkalmazásával Lebesgue folytatása (feltöltés) az intézkedés, az intézkedés lehet terjeszteni szélesebb algebra, mint Borel, # 151; a Lebesgue-mérhető készletek algebráján. Ehhez elegendő nullás mértéket rendelni a Borel-készletek bármelyik részhalmazához nulla Lebesgue-méréssel.
Szükségünk van egy olyan ingatlanra, amelyet minden intézkedés tartalmaz. Az intézkedés folytonosságának ezt a tulajdonságát néha a folytonosság axiómájának nevezik. szem előtt tartva, hogy a (14) meghatározásban a (2) bekezdéssel helyettesíthető.
2. lemma (az intézkedés folytonossága). Adjunk egy csökkenő sorozatot a beágyazott készletekből oly módon, hogy és. Aztán.
Bizonyítás. A gyűrűkkel jelöljük :. A készletek ..., párosan vannak egymástól. Aztán a reprezentációktól
az axióma (2) értelmében ez következik
Az első összeg az állapot alapján egy abszolút konvergens sorozat összege (nem negatív kifejezésekből áll). A sorozat konvergenciájából következik, hogy a sorozat "farka", egyenlő, nullához vezet. ezért
Ennek a tulajdonságnak a hasznosságát könnyű ellenőrizni gyakorlatokkal.
A készletekhez tartozó intézkedés folytonossági axiómájának felhasználásával igazoljuk, hogy a valós vonal egypontos részhalmazának Lebesgue-mérése nulla. Ezt használva igazolja, hogy ,,,.
Megjegyzés. Feltételezés hiányában (vagy olyanoknál), amelyek a beágyazott készletek mérséklését késztetik, az ingatlan nem teljesíthető.
Például állítsuk be az intézkedést:, ha nem több, mint a számlálás, egyébként. Ezután a készletekhez:
És végül képesek vagyunk meghatározni a valószínűség fogalmát.
Definíció 15. Let # 151; és # 151; algebrai alcsoportjai. Az intézkedést normalizáltnak nevezik, ha. Egy másik név egy szabványosított intézkedéshez # 151; valószínűségi vagy valószínűségi intézkedés.
Ugyanaz a dolog újra és részletesen:
Fogalommeghatározás 16. Let # 151; az elemi eredmények helyszíne, # 151; A részhalmazainak (események) algebraja. A valószínűségi vagy valószínűségi mérték a következő tulajdonságokkal rendelkező függvény:
(P1), egyenlőtlenség minden esemény esetén;
(P2) minden párosított inkompatibilis eseményre vonatkozó megszámlálható készlet esetében egyenlőséggel rendelkezünk
(P3), egy érvényes esemény valószínűsége egy.
Tulajdonságok (P1) # 151; (P3) valószínűségi axiómáknak nevezzük.
Definíció 17. Egy triplet, amelyben # 151; az elemi eredmények helyszíne, # 151; A részhalmazainak algebraja és # 151; valószínűségi hely.
Bizonyítsuk be az axiómákból következő valószínűség tulajdonságait. Az alábbiakban nem fogunk mindig beszélni, de szem előtt tartjuk, hogy csak eseményekkel foglalkozunk.
Bizonyítás. Események, ahol, párhuzamosan ellentmondásosak, és az uniójuk is üres sor. Axiómával (P2).
Ez csak abban az esetben lehetséges.
A valószínűség (P2) számítható additivitásának axiómája annál inkább igaz a párhuzamos inkompatibilis események véges sorozathoz.
Tulajdonság 1. Minden párhuzamosan összeegyeztethetetlen esemény véges sorozata esetén egyenlõségünk van
Bizonyítás. Mindenkiért. Ezeknek az eseményeknek a valószínűsége 0 tulajdonság szerint nulla. Az események, párosan összeegyeztethetetlenek, és az axióma (P2) szerint.
Számos következmény származhat ebből a tulajdonságból.
Tulajdonság 2. Minden esetben hajtsa végre :.
Bizonyítás. Mivel és az események összeférhetetlenek, az axiómából (P3) és az 1. tulajdonságból származunk.
Tulajdon 3. Ha, akkor.
Bizonyítás. Képzeld el, hogy két összeférhetetlen esemény kombinációja :. Az 1-es tulajdonnal.
Megjegyezzük egyszerre, hogy az axióma (P1) szerint az egyenlet jobb oldalán lévő kifejezés nagyobb vagy egyenlő, ami a valószínűség monotonitásának következő tulajdonságát bizonyítja.
Tulajdon 4. Ha, akkor.
Tulajdonság 5. Minden esetben :.
Bizonyítás. (P1) értékkel. És akkor, akkor.
Ingatlan 6. Mindig.
Bizonyítás. Nekünk tehát tulajdonlásuk van 3 De ezenkívül összeegyeztethetetlenek. Ismét felhasználva az 1-es tulajdont, a következőket kapjuk:
E tulajdonság és az axióma (P1) két hasznos tulajdonsága van. A 8. tulajdonságot az olvasó a 7-es tulajdonnal igazolja.
Tulajdon 7. Mindig.
Tulajdonság 8. Abszolút mindig.
A következő tulajdonságot a befogási és kizárási képletnek nevezzük. Ez nagyon hasznos, ha kiszámítható a valószínűsége egy esemény nem bontható esetén kényelmes páros összeférhetetlen események, de sikerül megosztani az eseményt egyszerű alkatrészek, amelyek azonban kompatibilisek.
Tulajdonság 9. Minden véges eseménysorozat esetében a következő egyenlőség tartja fenn:
Bizonyítás. A matematikai indukció módszerét alkalmazzuk. Az indukció alapja a # 151; tulajdonság 6. A 9. tulajdonság legyen igaz. Bizonyítsuk be, hogy ez akkor igaz. Az ingatlan 6,
Gyakorlat 19. Póttag (4). (5) a (3) lépésben, és töltse ki az indukciós lépést.
Íme egy példa egy olyan probléma megoldására, amelyben a tulajdonság használata 9 # 151; a megoldás legegyszerűbb módja. Ez a szétszórt titkár ismert "problémája".
17. példa: Betűk és aláírt borítékok vannak. A leveleket véletlenszerűen berakjuk borítékba. Találd meg azt a valószínűséget, hogy legalább egy betű beleesik a neki szánt borítékba, és ennek a valószínűségnek a korlátja.
A megoldás. Hagyja, hogy az esemény azt jelenti, hogy a levél be van borulva. majd
Mivel az események közösek, a képletet (2) kell használnunk. A valószínűség klasszikus meghatározásával kiszámítjuk az összes esemény és annak metszéspontjainak valószínűségét. Alapvető kimenetek a betűk különböző permutációi (elhelyezés). Teljes számuk van, és az esemény kedvező számukra, nevezetesen az összes betű minden permutációját, kivéve a borítékban lévőet. Ezért mindenki számára.
Ugyanúgy kapjuk meg, hogy bármelyik számára
A három esemény kereszteződésének valószínűsége
Hasonlóképpen kiszámítjuk az esetleges egyéb események számának metszéspontjainak valószínűségét is, többek között
A (2) képlet összes összegének számát kiszámítjuk. Például, pontosan a kifejezések összegében # 151; pontosan annyi háromelemes készlet alakulhat ki elemekből, és minden ilyen készlet egy adott összeg indexeiben egyszer fordul elő. Az összes valószínűség helyébe (2). kapunk:
20. gyakorlat. Írja ki a Taylor expanzióját, és győződjön meg arról, hogy mikor.