A számelmélet alapjai
1. A számelmélet alapjai A kongruensek elmélete
2. A számelmélet története
A
a számelmélet eredete, mint tudományos tudomány
az euklidi tanulmányok (ie 3. század),
Diophantus (3. század), Fermat (1601-1665), Euler
(1707-1783), amelyet írásban tartanak fenn.
Történelmi források megerősítik ezt
a számelmélet alkotója Euler. Ebben az esetben,
meg kell jegyezni, hogy az elmélet számos tétele
számok (általában bizonyítékok nélkül)
megfogalmazva Euler előtt.
minden
egy természetes szám nagyobb, mint egy,
legalább két számra van osztva: 1-vel és önmagában
magukat. Ha a számnak nincs osztói, kivéve magát
magát és egységeit, egyszerűnek nevezik, és ha y
még vannak osztók, majd kompozitok. Az egység
nem tekinthető prímszámnak vagy összetettnek.
Például a 7-es és 29-es szám egyszerű; számok 9, 15 -
vegyület (9 osztva 3, 15 osztva 3 és 5).
Nem minden számot azonnal meg lehet mondani, hogy egyszerű vagy összetett.
Ha a szám kevesebb mint száz, akkor valószínűleg azonnal válaszolunk
erre a kérdésre. Nagy számban azonban az ügy bonyolultabb.
Előfordul, hogy az egyszerűség teszt sokkal hosszabb, és
hogy nagy számokkal dolgozhasson
speciális számítógépes programok.
Fontos a nagy prímszámok keresése
matematika és nem csak. Például a kriptográfia nagy
Egyszerű számokat használnak a nyitott titkosítási algoritmusokban
gombot. A titkosítás megbízhatóságának biztosítása érdekében
Használjon akár 1024 bit hosszúságú prímeket is.
Viszonylag könnyű szaporodni két számot, különösen ha
Van egy számológépünk, és a számok nem túl nagyok. Van is
inverz probléma - faktorizációs probléma - két vagy
több olyan szám, amely adott szám sokszorozódását eredményezi. ezt
A feladat sokkal nehezebb, mint a számok szaporodása, és bárki, aki
megpróbálta megoldani, ez ismeretes.
Például, ha 67-tel 113-ra akarsz szaporítani, akkor az eredmény,
7571, valószínűleg kevesebb, mint egy perc alatt érkezik. Ha a
Meg kell találnunk két számot, amelyeknek a terméke 7571-nek felel meg,
akkor valószínűleg sokkal több időt vesz igénybe.
6. Az aritmetika fő tétele
7. Kölcsönösen prímszámokat és az Euler funkciót
Két szám azt mondják, hogy viszonylag fontos, ha nincs ilyen
közös osztó, kivéve egy.
Például a 11-es és 12-es számok viszonylag elsődlegesek (nincsenek közös osztók
kivéve az egyiket), a 30-as és a 35-es szám nem (közös osztóval rendelkeznek).
Az egész számokhoz kapcsolódó szabályzatok vizsgálata hosszú
részt vett a svájci Leonard Euler matematikus. Az egyik kérdés,
melyet érdekelt, a következő volt: hány van
a természetes számok nem haladják meg az n és viszonylag első n?
Erre a kérdésre válaszul Euler 1763-ban fogadta ezt a választ
kapcsolódik az n számú szám szerinti kanonikus bontáshoz elsődleges tényezőkkel.
8. Az n-t meg nem haladó természetes számok számát és viszonylagosan az n értéket nevezzük Euler-függvénynek és jelöljük
Például azt találjuk, hogy nem haladja meg a természetes számok száma
12 és viszonylagosan 12-re. Az 1., 2., 3., 4., 5., 6.,
7, 8, 9, 10, 11 viszonylag elsődleges (nincsenek közös osztók), 12
csak az 1, 5, 7, 11 szám lesz. A számuk négy.
Használjuk az Euler funkciót és 4-et kapunk.
Ehhez először a kanonikus bomlást írjuk le
12: 12 = 22 * 3.
Kényelmes Euler képletét használni
nagy n, ha n kiterjesztése
az elsődleges tényezőkre.
A titkosításhoz Euler képlete fontos,
Ez megkönnyíti a számot
egyszerű és néhány más szám.
Euler volt az első, aki használta
Még jobb Euclid algoritmusa is
aritmetikai formában.
11. A GCD megtalálása Euclid algoritmusa szerint
Az Euclid algoritmusa egy algoritmus a kereséshez
egy pár egész szám legnagyobb közös osztója (GCD)
számokat.
A legnagyobb közös osztó (GCD)
Szám, amely osztja a fennmaradó két számot és
maga is megosztja magát maradék nélkül
két számosztó. Egyszerűen fogalmazva, ez
A legnagyobb szám, ami lehet
a fennmaradó rész, hogy felosztja a két számot, amire keresünk
GCD.
12. Az algoritmus leírása a GCD elválasztásával
1. Minél nagyobb a szám kisebbre osztva.
2. Ha maradék nélkül osztható, akkor a kisebb szám és
van egy GCD (kilépés a hurokból).
3. Ha van egy maradék, akkor nagyobb számot kicserélnek
a szétválás többi részében.
4. Folytassa az 1. lépéssel.
1. példa: Keresse meg a GCD-t a 30-as és 18-as évhez.
30/18 = 1 (12. maradék)
18/12 = 1 (egyenleg 6)
12/6 = 2 (a fennmaradó 0).
GCD (30, 18) = 6
13. A GCD megtalálása faktorizálással elsődleges faktorokká
A legnagyobb közös osztó megtalálható
a számok tágulása elsődleges tényezőkkel.
Megfogalmazzuk a szabályt:
Az a és b pozitív egész számok GCD-je
egyenlő az összes egyszerű egyszerű termékével
szorzók a számok bővülésében a
és b fő tényezőkkel.
14. Keresse meg a 72 és 96 legnagyobb közös osztóját
A megoldás.
Elsődleges tényezőként bomlik a 72. és a 96. szám:
72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3
96 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3
A szokásos egyszerű tényezők 2, 2, 2 és 3.
Így a GCD (72, 96) = 2 · 2 · 2 · 3 = 24.
válaszolni:
Isten (72, 96) = 24.
15. Három vagy több GCD-k keresése
A három legnagyobb közös osztó megtalálása
és több számot lehet csökkenteni
a két szám GCD egymás utáni megállapítását.
Számos szám legnagyobb közös osztója
a1, a2, ..., ak egyenlő a dk számmal, ami a
a GCD (a1, a2) = d2,
GCD (d2, a3) = d3, GCD (d3, a4) = d4, ..., GCD (dk-1,
ak) = dk.
16. Keresse meg a GCD-t (78, 294, 570 és 36)
Keresse meg a GCD-t (78 294 570 és 36)
1) Az Euclid algoritmusa segítségével meghatározzuk a legnagyobbat
az első két 78-as és 294-es közös osztó d2.
Elosztáskor megkapjuk az egyenlõségeket 294 = 78 · 3 + 60;
78 = 60 · 1 + 18; 60 = 18 · 3 + 6 és 18 = 6 · 3.
Így d2 = GCD (78, 294) = 6.
2) Számítjuk ki a d3 = GCD (d2, a3) = GCD (6, 570).
T.570 = 6 · 95, ezért d3 = GCD (6, 570) = 6.
3) Számítsa ki d4 = GCD (d3, a4) = GCD (6, 36) = 6.
Így a négy legnagyobb közös osztója
az adott számok d4 = 6.
Isten (78, 294, 570, 36) = 6.
17. A számok legkisebb közös többszörös (NOC) számának megállapítása
A legkisebb
közös
szeres
az adatokat
természetes
szám
hívják
a legkisebb
egy természetes szám, amely mindegyik szám többszöröse.
Egy példa.
NOC (24, 42) = 168. Ez a legkisebb szám,
amely 24-re és 42-re van osztva.
18. A legkevésbé gyakori többszörözés megtalálása
Az LCM több adat megtalálása
a természetes számok:
1) lebontja ezeket a számokat egyszerűnek
csoportok számára;
2) írja le a számok nagyobbik számát és
szorozzuk meg a hiányzó tényezőket
más számok bővítése.
A két viszonylag elsőszámú szám legkisebb többszöröse
egyenlő a számok termékeivel.
Keresse meg az LCM (35; 40)
A 35-es és a 40-es számokat bontjuk le elsődleges tényezőkké
35 = 5 · 7, 40 = 2 · 2 · 2 · 5 vagy 40 = 23 · 5
A bomlást 40-nél nagyobbak és kiegészítjük
hiányzik
szorzók.
NOC (35; 40) = 23 · 5 · 7 = 40 · 7 = 280.
A válasz: NOC (35; 40) = 280.
20. Keresse meg a NOC (75, 120, 150)
A 75., 120. és 150. számokat egyszerűvé teszik
szorzók.
75 = 3 52, 120 = 23, 3, 5, 150 = 2, 3, 52
Nagyobb számú 150 és 150 bomlást veszünk
kiegészítjük két "csalókkal", mivel
a 120 szám bővítése három "kettő", és be
a 150 szám bomlása csak egy.
NOC (75, 120, 50) = 2 ∙ 3 ∙ 52 ∙ 2 ∙ 2 = 150 ∙ 4 = 600.
Válasz: NOC (75, 120, 150) = 600.
21. A kongruenciák elmélete
Minden egyes egész számhoz tartozik egy meghatározott
a fennmaradó rész m-vel történő elosztásával;
ha két a és b egész szám azonos
a fennmaradó m, egyenlő távolságra vannak
modul m vagy hasonló modulo m.
Az a és b modulo m számok összehasonlíthatósága le van írva
az alábbiak szerint:
a következő: a a b modulo m-vel összehasonlítható.
összehasonlítás
mutat
hasznos
a
a matematikusok és a kriptográfiai tulajdonságok sok tekintetben
hasonló az egyenlők tulajdonságaihoz.
Ezek a tulajdonságok lehetővé teszik a lényeges egyszerűsítést
számtani számítások.
Például az összehasonlítások tulajdonságai hasznosak lehetnek
számítások a nyitott titkosító algoritmusokkal
gombot.
23. A kongruenciák tulajdonságai
1. Ha az a-b osztható m-val, akkor
Például,
mivel 15 -1 = 14, és 14 a 7 többszöröse.
2. Ha a
az
Például,
az
24. A kongruenciák tulajdonságai
3. Ha a
4. Ha,
egyszerű m-vel.
Például
majd
majd a
25. Fermat kis tétele
Az RSA rendszer titkosítási algoritmusa
jelentése
elv
megfogalmazott
a
a kezdet
a tizenhetedik században a franciák bizonyítása nélkül
matematikus Pierre Fermat. Gyakran van
úgynevezett "Fermat kisebb tétele".
Ha p prímszám és m bármelyik szám
nem osztható p-val, akkor
azaz a p-vel osztott mp-1 érték adja a fennmaradó 1 értéket.
