Pontos és semireguláris poliéder
Pontos és semireguláris poliéder
A tanulmány elkészült: Gileva Maria, 10 "B" osztály, 41 iskola
Helyes és semireguláris polyhedrák (platonikus és archimédiás testek)
A rendszeres poliéder egy konvex poliéder, amelynek arcai egyenlőek a szabályos sokszögek, és a csúcsok szögletes szöge egyenlő egymással. Bebizonyosodik, hogy a rendszeres poliéder mindegyik csúcsában azonos számú arc és ugyanakkora széle konvergál.
Összesen öt rendszeres polyhedra van a természetben. A szabályos sokszögek számához képest ez nagyon kicsi: minden n> 2 egész számra létezik egy szabályos n-gon, azaz rendszeres sokszögek - végtelenül sok. Rendszeres poliéderek elnevezése szerint az arcok száma: tetraéder (négy arcokat): hexaéder (6 arcok), oktaéder (nyolc arcot), a dodekaéder (12 arc) és ikozaéder (20 metszettel). A görögben a "hedron" az arcot, a "tetra", a "hexa", stb. - a megadott számú arcot jelenti. Nem nehéz kitalálni, hogy a hexaéder nem más, mint egy ismert kocka. A tetraéder, az oktaéder és az icosahedron arcai rendszeres háromszögek, a kockák négyzetek, a dodekaéderek rendszeres ötszögek.
Ha q rendszeres poliéder egyik oldalára eső szögek számát jelöljük, és az egy csúcsra p-vel konvergáló arcok számát, akkor az egyes rendszeres poliéderek pontos jellemzőit kapjuk. Itt vannak (az első szám q, a második pedig p): (3; 3), (3; 4), (4; 3), (3; 5), (3; 3). Ebben az esetben a kocka és az oktaéder, valamint az icosahedron és a dodekaéder, a p és q számok átrendeződnek. Ezeket a polyhedrákat kettősnek nevezik. A tetraéder kettősnek tekinthető. A kettős poliéderben a szélek száma ugyanaz.
A rendszeres poliéderek szimmetrikusak. Ez azt jelenti, hogy bármely önkényesen kiválasztott él AB és a szomszédos arcok F, elforgathatja a poliéder, hogy az AB él kapcsolót bármely más, mint a CD-szélén pont - annak bármely végét (C vagy D), és az arc F egybeesik a két szomszédos arc egyikével. 4P olyan lehetséges forgatások vannak - önmegfelelőségek, ahol P a poliéder széleinek száma. Így a fele - forgatások körül a képzetes tengelynek összekötő poliéder központban a csúcsok, felezőpontja élek és profilszögből amelyek többszörösei rendre 2 p / q, p + 2 p / p, és a másik fele - szimmetria a repülőgépek és „tükör forgatások ”. Ez a "maximális szimmetria tulajdonsága" rendszerint egy rendszeres poliéder definíciójának tekinthető. De egy olyan emberhez, aki messze van a matematikától, nehéz elképzelni egy ilyen definíciójú geometrikus testet.
Johannes Kepler a kockát az összes rendszeres poliéder "szülőjének" nevezte. A kockára alapozva képes volt minden más típusú rendszeres poliédert felépíteni.
Ha átmegyünk a kockák ellentétes oldalain lévő átlón, akkor azok végeik a tetraéder csúcsai, és az oktaéder csúcsai a kocka arcainak középpontjai. A kapott sokszögek valóban rendszeresek, mivel arcuk rendszeres háromszög. A dihedral szög egyenlősége abból a tényből ered, hogy amikor a kockát forgatják, a poliéder szélét át lehet alakítani.
A konstrukció ikozaéder, valamennyi oldalán a kocka építeni szegmens x hossz (mindaddig, amíg ez - bármilyen hosszúságú) úgy, hogy az párhuzamos a két arca két oldalán, és merőleges az azonos szegmensek szomszédos arcok. A középső résznek egybe kell esnie az arc középpontjával. Ezeket a szegmenseket összekötjük egymással, és hármas oldalú háromszöget kapunk, amelynek arcai háromszögek, és mindegyik csúcson öt van. Olyan x számot találunk, amelyen a poliéder összes széle azonos, vagyis rendszeres. mert a kocka szimmetrikus, akkor minden olyan él, amely nem tartozik a kocka arcához, egyenlő. A kocka peremének hosszát egy a. Tekintsük az ABC háromszöget (2. ábra), ahol AC = a-x, BC2 = CD2 + BD2 = 1 / 4a2 + 1 / 4x2. A pitagorai tétel szerint: AB2 = AC2 + CB2 = (x2 + a2 + (a-x) 2) / 4.
Az AB egyenletével x-vel egyenlő: x2 + ax-a2 = 0, ahonnan x = a ( Ö 5-1) / 2. Érdekes, hogy az eredményül kapott szorzó, azaz a kocka pereme és a benne írott icosaéder szélé, nem más, mint egy arany szelet.
Most bizonyítjuk a dihedral szög egyenlőségét. Tekintsük öt bordák, kezdve a pont A. A végei mindet, és egyenlő távolságra vannak az A pont és a központ a kocka O. Ez azt jelenti, hogy ezek fekszenek a kereszteződésekben a két szféra központokkal A és O, és ezért - a kerülete, és a-ig, hogy csatlakoztassa a az A ponttal egyenlőek. Ezért ezek az öt pont és az a pont a szabályos piramis csúcsai, és a csúcsponton levő dihedral szöge egyenlő.
Egy icozaéderből származó dodekaéder ugyanúgy szerezhető be, mint egy kockából származó oktaéder. összekapcsolva az icosaéder szomszédos arcai középpontjait, rendszeres ötszöget kapunk. Az ilyen pentagonok száma 12. A sokszög dihedral szögei egyenlőek lesznek, mivel a trihedral szögek csúcsai egyenlő sík szögekkel rendelkeznek.
A helyes poliédereket platóni testeknek is nevezik, bár Platón előtt több évszázados ismertek voltak. Egyik párbeszédében a Platón rendszeres négyszögű poligonokat társított. A tetraéder megfelelt a tűznek, a kocka a földnek, az octaédernek a levegőbe és az ikosaédrébe a vízhez. A dodekaéder az ötödik elemnek - éternek felel meg.
Az úgynevezett félig-szabályos poliéderek Archimedes nevéhez kötődnek. Ezek 13 testek, amelyeket rendszeres poliéder és két végtelen sorba rendezett prizmák és antiprizmák csonkolásával nyerünk.
A reneszánszban a tudós, Johannes Kepler Platón után megpróbálta a helyes poliédert összekötni a világegyetem szerkezetével. Többé-kevésbé pontossággal a hat ismert bolygó körül, a rendszeres poliéderek körüli gömbök között helyezkedett el oly módon, hogy mindegyiket egy kisebb gömb közelében írták le, és egy nagyobbat írtak be. De Kepler nevét a geometriában dicsőítette a négy jobb csillag testének két felfedezése. 1809-ben két másik személy találta meg a francia Louis Poinsot-ot.
Ábra. 1 normál poliéder
Tetrahedron kocka Octahedron Dodekahedron Icosahedron
2. ábra A jobb oldali poliéder megszerzése egy kockából
Ábra. 3 Archimedeai test icosahedrumból alakult
Ábra. 4 Az egyik csillagtest