Mi nagyobb, mint e a pi vagy pi mértékében az e
Nemrégiben egy iskolásember két szám összehasonlításával foglalkozott velem. Szükséges volt megtudni, mi a nagyobb: e a pi vagy pi hatalmába az e. Nem így van? Egy matematikai oktató, aki évek óta dolgozik vele, nem tudott megbirkózni az ilyen irracionalitással, és mindig érdekes volt számomra, hogy összeszedjék azokat a számokat, amelyeket valaki nem dolgozott ki. Ha az oktató képes megoldani a nem szabványos feladatokat.
Szóval össze kell hasonlítanod, és hogyan meditáltam?
Nyilvánvaló, hogy a "homlok" számítása nem reális, és a számológép ilyen esetekben tilos. Úgy gondolom: valószínűleg el kell különíteni a mutatókat és a diplomák alapjait, és az összehasonlítást az eljárás során egyenértékűvé kell tenni. Ellenkező esetben az elemi funkciók sorában nem találjuk ugyanazt a funkciót, amely segít a számok összehasonlításában a monotonitás tulajdonságai alapján. A termonukleáris irracionális párok megszakítása csak a logaritmus kiszámításakor lehetséges. Szóval azonnal bejelentkeztem a fokokat a gondolat irányába és. A logaritmus alapját nem véletlenül választották ki. Az exponens jelenléte megtörtént.
A probléma csökkent a számok összehasonlítása és. Továbbá észrevettem, hogy a bejegyzések helyettesítése egyenlő számmal jár. Hogyan használhatnám? Figyelembe veszem a fő ötletet: ha a munkának van egy elemi megoldása, előbb-utóbb egy monoton funkció bevezetésére lesz szükség. Ez nyilvánvalóan nem így van, mivel a szám nem egy olyan érték, amely összehasonlítható. Ennek ellenére az eredmények feltárt egyenlőségét valószínűleg valahogy fel kell használni. Hogyan?
Emlékszem, hogy a matematika egyenlőtlenségének igazolása megegyezik annak bizonyításával, hogy a vizsgált számok különbsége határozott jele. És ez olyan, mintha a különbséget nullához hasonlítanánk. Ezt akkor kapja meg, ha a számot helyettesíti egy szám. Hogy kell a matematika oktatónak cselekednie. Természetesen az u függvényt is megvizsgáljuk, és monotonságot igazolunk. Ha a függvény növekszik, akkor a>, majd a> és így kapjuk azt>.
Továbbra is meg kell találni a származékot, és meg kell győződnie arról, hogy nő. Van. Nyilvánvalóan, ha x> e, akkor>. Ezért nő az intervallum. Ezért> és következésképpen e a pi teljesítményhez nagyobb, mint pi az e
Az összes argumentum eltávolításával a probléma megoldása, azt írjuk össze:
Az egész folyamat körülbelül 10-15 percet vett igénybe, és a legtöbbet gondoltam. Nem mondhatom, hogy minden matematika-oktatónak képesnek kell lennie arra, hogy tanácsot adjon egy diáknak az olimpiai karakter feladatairól, de hasznos lenne tudni a gondolkodás egyes módszereiről.
Tisztelettel: Kolpakov Alexander Nikolaevich.
matematika oktató Moszkvában,
Professzionális oktató Stroginóban, Schukinskaya úr.
Nyilvánvaló, hogy 2,7 ^ 3,14> 3,14 ^ 2,7
) Igen, ez annyira nyilvánvaló, mint az a tény, hogy az x ^ n + y ^ n = z ^ n egyenlet n> 2 esetében nem létezik nem vitatható megoldás egészben (Fermat tétele) :))))
Az én megoldásom:
1) pi> e,
2) ln (pi)> ln (e),
3) e * ln (pi)> e * ln (e),
4) kivonjuk az 1-től 3-ig):
pi - e * ln (pi) e - e * ln (e) = 0,
5) pi-e * ln (pi)> 0,
6) pi> e * ln (pi),
7) pi> ln (pi ^ e)
8) ln (e ^ pi)> ln (pi ^ e)
9) e ^ pi> pi ^ e
Van egy árnyalat: szükség van arra, hogy a vizsgálónak két dologgal kell rendelkeznie: egy függvény monotonitásának és a származék közötti kapcsolatnak. Ellenkező esetben bizonyítani kell, hogy a pi és e közötti különbség szorzata a pi természetes logaritmusával nagyobb, mint az e és e közötti különbség, megszorozva az e természetes logaritmussal, vagyis nullán nagyobb. Magától értetődő, hogy a feltüntetett funkció növekedése monotonitásának fogalmát nem vonzza magára.
Nagyon köszönöm a döntést. Ne mondja meg, honnan szerezte ezt a feladatot a matematika olimpiai problémáinak tankönyve vagy összefoglalója? Köszönöm előre.
Nem tudom megmondani, mely könyvek találkoznak ezzel a problémával. És miért keressük meg, ha már megtalálta :))) A számok összehasonlításának kérdését az egyik diákja egy ismerős matematikai oktató kapta. A feladatot továbbították nekem, és néhány reflexiót követően formalizáltam döntését a webhelyen. Többet, mint bármit, amit nem tudok.
A régi probléma. A lényeg az, hogy összehasonlítjuk a logaritmus növekedését lineáris függvényekkel
Kedves Nikolai Sysoylov, a cselekményed, amit a bizonyításodból 4-ben veszel, nem teheted meg.
Brief illustration:
10> 7
5> 1
Ezért a logikája szerint 10 - 5> 7 - 1, azaz. 5> 6