Differenciálegyenletek
a kiindulási pályán nem növekszik, vagyis az eredeti pillanat közelébe tartozó konkrét megoldások által meghatározott összes pályák közel állnak a kiinduláshoz és a növekedéshez. Ez definíció szerint azt jelenti, hogy a triviális megoldás stabil.
Ha, akkor a távolság növekszik, tehát a nulla megoldás instabil.
Ezekben az érvekben a funkció helyettesíthető a számításoknál kényelmesebb funkció.
Példa. Vizsgálja meg a stabilitást a differenciálegyenletek rendszerének zéró megoldásaként.
Hadd legyen. Lássuk ennek a függvénynek a deriváltját a rendszer pályái mentén:
Így egy nem növekvő függvényt, azaz tetszőleges pályát mutatnak, nem távolítják el az eredetétől, tehát a rendszer triviális megoldása stabil, és így a rendszer összes megoldása stabil.
Megjegyezzük, hogy az egyenlőtlenségből következik, hogy egy monoton funkció. De a többi pont stabil is lehet, ha az önkényes megoldásoknak (középpont vagy stabil fókusz) megfelelő pályák nemmonotonikusak (13, 14). Ezért, a stabilitás vizsgálatának függvényeként Lyapunov olyan funkciókat tekintett, amelyek tulajdonságai hasonlóak a távolság tulajdonságaihoz, ám maguk nem távolságok.
FOGALOMMEGHATÁROZÁS A származtatott függvényt a rendszer (12.1) alapján a teljes származéknak nevezik.
Vegyünk egy autonóm rendszert
Feltételezzük, hogy egy ilyen rendszer esetében a függvény független az időtől és annak származtatása, tekintettel a rendszerre (12.12), a következő formában van:.
Meghatározás. Egy függvény pozitívnak (negatívnak) minősül, ha a szomszédság szomszédságában van, ha mindenütt ebben a szomszédban és csakis. Pozitív vagy negatív definite függvényeket jel-definite függvénynek nevezünk.
Emlékezzünk vissza, hogy a származás szomszédsága az egyenlőtlenség által meghatározott pontok halmaza. Ha ez az, akkor a kör sugara középpontja, ha a sugara egy gömb.
PÉLDÁK. a) mindenütt, kivéve a származást, a. Ezért pozitív, határozott függvény.
b), és. Így definíció szerint egy pozitív-határozott függvény.
De ennélfogva egy pozitív, határozott függvény nem: nem nulla az eredetén.
Meghatározás. Egy függvény nem negatív (nem pozitív) a szomszédos szomszédságban, ha mindenhol ebben a szomszédságban, és nem csak. A nem negatív vagy nem pozitív függvényeket jel-állandó függvényeknek nevezzük.
Példa. A függvény definíció szerint nem negatív.
Definíció szerint a függvény sem jel-definite, sem állandó jel.
Meghatározás. A függvény az autonóm rendszer Lyapunov funkciójának (12.12.), Ha
1) differenciálható a származás egyes szomszédságában;
2) pozitív-határozott (negatív egyértelmű) ebben a szomszédban;
3) származtatott, a rendszer (12.12) szemszögéből, mindenütt ebben a szomszédságban.
Úgy véljük, hogy a rendszer (12.12) és azt feltételezi, hogy triviális megoldás, azaz.
ELMÉLET (Lyapunov a stabilitásról). Legyen egy differenciálható függvény, amelyet a származás egy bizonyos szomszédságában definiálunk, amelynek származéka a rendszer (12.12) alapján állandó ebben a szomszédban és ellentétes a jelzéssel vagy egyenlő nullával. Ezután a rendszer triviális megoldása (12.12) stabil.
Bizonyítás. Tegyük fel, hogy egy függvény differenciálható és pozitív definíciója van a származás bizonyos szomszédságában, és származéka a rendszer (12.12) vagy. Megálltunk