A vektor algebra legegyszerűbb problémái a stadopedia
Adja meg a síkban (térben) egy derékszögű négyszög-koordináta-rendszert. Téglalap alakú alapot választunk a Descartes térben. . (.). Vegye figyelembe a következő feladatokat.
PROBLÉMA 1. Keresse meg a vektor koordinátáit. ha ismeretes a vektor kezdetének és végeinek Descartes-koordinátái.
Hagyja, hogy a pontok fekszenek a síkban és legyenek koordinátái. . Fontolja meg a vektorokat. és. Van:
Hasonlóképpen szerezzük be, ha és. . az
PROBLÉMA 2. Keresse meg a vektor hosszúságát, ha a koordinátái derékszögű téglalap alakúak.
Tegyük fel, hogy u. Van:
Tekintsünk egy háromszöget. Van:
Következésképpen Pythagoras tétele szerint,
Hasonlóképpen megkapjuk, ha u
3. probléma A vektor koordinátái ismertek. Keresse meg az ort koordinátáit.
Meghatározás. A vektor ort vektor. amelyek egy vektorral egyirányúak és egységhosszúak.
Hadd legyen. Mivel a vektorok és azok egyirányúak, létezik ilyen. ezért
Így szerezzük be:
A vektoregység vektor koordinátáinak nagyon egyszerű geometriai jelentése van. Jelölje meg. és a szöget, amelyet a vektor a koordinátatengelyekkel képez. és /. . . a vektor iránykoordinátusait nevezzük. Egy vektor iránykoordinátáját a koordinátákon keresztül fejezzük ki. Van:
Így azt találtuk, hogy a vektoregység-vektor koordinátái az irányú kosiniak.
Megjegyzés. Mivel és. az
Ez az egyenlőség a vektor irányú kosinusainak alapvető identitása.
4. probléma: A szegmensek végeinek koordinátái ismertek. Keresse meg a pont koordinátáit, amelyek a szegmenset egy adott arányban osztják el.
Meghatározás. Azt mondják, hogy egy pont egy szegmenst oszt meg az if esetén.
Ha. akkor a pont a pontok között helyezkedik el. Ebben az esetben mondja, hogy a pont a szegmenst a belső összefüggésben osztja el.
Ha. akkor a pont a szegmens kiterjesztésén rejlik, és azt mondja, hogy a pont a szegmenst egy külső összefüggésben osztja meg.
Hadd legyen. és. Jelölje meg. . Vannak pontok sugara vektorok. és /. majd
vagy koordináta formában:
Különösen, ha - egy szegmens közepén. az
azaz és az (1) és (2) képletek a következő alakúak:
Megjegyzés. Ha a pont a pontok között helyezkedik el. akkor általában azt mondják, hogy a szegmenst elosztja. Ebben az esetben. és az (1) és (2) képletek átírhatók a következő formában:
9. §. nemlineáris műveletek egy készleten
vektorok