A valószínűségi elmélet és a matematikai statisztikák elemei (p.
A variancia négyzetgyökét a random változó szórásának nevezik. Ezt a szimbólummal jelöljük.
Ha a diszperzió szóródási jellemző, akkor a matematikai elvárás a numerikus tengelyen lévő véletlen változó értékeinek pozíciójára jellemző. A véletlen változó értékeit a matematikai várakozás köré csoportosítják bizonyos szórással, amelyet a véletlen változó varianciája határoz meg.
A várakozás nem az egyetlen jellemzője a véletlen változó helyzetének.
Egy valószínűségi változó módja a legvalószínűbb értéke (az x értéke, amelynél az eloszlási sűrűség eléri a maximális értéket).
Az x véletlen változó mediánja az az érték, amelynél az egyenlőség :.
Gondoljuk meg, hogyan találjuk meg a függvények matematikai elvárásait egy random változótól a különálló véletlen változókhoz.
Legyen x egy diszkrét véletlen változó, amely értékeket és valószínűségeket vesz fel.
Így diszkrét véletlen változók esetén a matematikai várakozást és a varianciát a következő képletekkel számoljuk:
Nem nehéz találni egy másik kifejezést a varianciára, ha meghatározásakor kibővítjük a zárójeleket:
Lássuk a korábban véletlenszerű változók matematikai elvárásait és varianciáját.
A Bernoulli véletlen változó
Egyenlően elosztott véletlen változó
Exponenciális véletlen változó
A Gaussian véletlen változó
Itt az első integrál nulla, mint a szimmetrikus határok egyik furcsa funkciójának integrátuma. A második integrál egyenlő az egységgel azzal a feltétellel, hogy normalizáljuk a Gaussian random változó paramétereinek paramétereit.
Így az eloszlás paraméter egy Gaussian véletlen változó matematikai várakozása.
Az utolsó integrált elemek részei, üzembe helyezése
Akkor végre:.
Az eloszlás paraméter egy Gaussian véletlen változó varianciája.
Így egy Gaussian véletlen változó eloszlási sűrűsége két paramétertől függ: matematikai várakozás és variancia.
2.5. Egy véletlen változó jellemző függvénye
Meghatározás Az x véletlen változó egy jellegzetes függvénye komplex értékű függvény.
Itt j a képzeletbeli egység.
Ebből a definícióból következik, hogy a jellegzetes függvény lényegében az x véletlen változó eloszlási sűrűségének Fourier transzformációja.
Ha az x véletlen változó karakterisztikus függvénye ismert. akkor az eloszlási sűrűség egy inverz Fourier transzformációval érhető el:
Így a jellemző függvény, mint az eloszlási sűrűség, teljesen meghatározza a véletlen változót, és lehetővé teszi számunkra, hogy megtaláljuk a valószínűségi változókhoz kapcsolódó események valószínűségét.
A valószínűség elméletében gyakran használják a "véletlen változó eloszlási törvényét".
A véletlen változó elosztási jogának hozzárendelése az elosztási függvény vagy az eloszlási sűrűség, vagy az elosztási sorozatok (diszkrét véletlen változók) vagy a karakterisztikus függvény hozzárendelése.
A jellegzetes függvény tulajdonságai a meghatározásából következnek:
A 2-es ingatlan lehetővé teszi számunkra, hogy egyszerűen a karakterisztikus függvény segítségével kiszámoljuk egy véletlen változó matematikai elvárásait és varianciáját, egyszerűbb művelettel helyettesítve az integrációt - differenciálással:
Lássuk a Bernoulli véletlen változó jellegzetes függvényét, annak matematikai elvárásait és varianciáját.
A binomiális véletlen változó matematikai elvárásainak és varianciájának kiszámítása egy sor eloszlás alkalmazásával meglehetősen nehéz. De a jellegzetes funkció segítségével nagyon egyszerű.
A képletnek megfelelően, amelyet Newton binomiálisnak nevezünk, kapunk :.
Lássuk az egyenletesen elosztott véletlen változó jellemző funkcióját.
Egy exponenciális véletlen változó jellemző függvénye a következő:
Számítsuk ki egy Gaussian random változó karakterisztikus függvényét. A számítás módja hasznos lesz számunkra a jövőben.
Így a Gaussian véletlen változó jellemző függvényét a következő képlet adja meg:
A jellemző függvény kiszámításához a következő összefüggést használjuk:
amely bármelyikre érvényes.
Adjuk meg a kifejezést az integrálissá (1) a teljes térre:
Ezután a normalizációs feltétel (2) segítségével a következőket kapjuk:
Így a Gaussian véletlen változó karakterisztikus függvénye:
2.6. A véletlen változók funkcionális átalakulása
A valószínűségi elmélet mérnöki alkalmazásaiban gyakran szükségessé válik a függvények eloszlásának törvényi meghatározása a véletlenszerű változókból. Ez a bekezdés erre a részre vonatkozik.
Legyen szigorúan monoton funkció. - a függvénydefiníció tartománya, D - értékeinek tartománya. Ebben az esetben létezik egy inverz függvény, amelyet jelölünk. Az inverz függvény definíciójának tartománya D. és az értéktartomány Q. A közvetlen és inverz függvények esetében a következő összefüggések vannak:
Az inverz funkció szintén szigorúan monoton. Ráadásul, ha - monoton módon növekszik, akkor u is monoton növekszik. Ha a monoton csökken, akkor u monotonikusan csökken.
Tehát legyen egy monotonikusan növekvő függvény, egy eloszlásfüggvény és egy eloszlási sűrűségű véletlen változó. Lássuk egy valószínűségi változó eloszlásának sűrűségét.
Definíció szerint egy véletlen változó eloszlásfüggvénye egyenlő:.
Megoldjuk az egyenlőtlenséget egy véletlen változó vonatkozásában, megkapjuk:
Így a random változó eloszlásfüggvényét kapjuk. Az x-re való differenciálás. megkapjuk az eloszlási sűrűséget:
Most legyen monoton mérséklődés. Ezután a random változó eloszlásfüggvénye egyenlő:
Az egyenlőtlenség megoldása egy véletlen változó vonatkozásában figyelembe kell venni, hogy az egyenlőtlenség mindkét részében monoton szempontból csökkenő transzformációval az egyenlőtlenségi jelet az ellenkezőjére kell cserélni:
Így egy véletlen változó eloszlásfüggvényében a következőket kapjuk:
Az egyenlőtlenséget az x-re (általánosított értelemben) különböztetjük meg,
Ha figyelembe vesszük, hogy a monotonikusan csökkenő függvény derivata negatív, bármilyen monotonikus transzformáció esetén:
Tegyük fel, hogy ez nem egy monoton funkció, hanem szigorúan monoton szakaszokra osztható az x1, x2, ..., xn pontokkal (13. ábra)
Ezután mindegyik szakasz esetében a funkció szigorúan monoton, következésképpen az inverz. Jelöljük az inverz funkciókat. Az általánosság elvesztése nélkül feltételezzük, hogy növekvő szerepet játszik. Ezután - csökkenő, - növekvő stb. (Lásd 13. ábra).
Egy véletlen változó eloszlási függvényében a következőket kapjuk:
A fajok összegezhető eseményei összeférhetetlenek, ezért a valószínűség axiómája alapján kapjuk:
Ezek a valószínűségek kiszámíthatók egy x véletlen változó valószínűségi sűrűségének függvényében:
Egy véletlen változó eloszlásfüggvényének differenciálódása esetén megkapjuk az eloszlási sűrűséget:
Figyelembe véve, hogy a monotonikusan csökkenő függvény derivata negatív, végül:
Vegyük figyelembe a véletlen változók transzformációjának speciális eseteit.
1. Tegyük fel, hogy a függvény definíciójának egy részében ez a függvény állandó (). Nyilvánvaló, hogy ebben a szakaszban nincs inverz funkció. majd:
A Heaviside függvény bevezetésével ez a kifejezés a következőképpen írható:
Miután befejeztük az általános differenciálódást, a (3) összegű eloszlási sűrűség megfelelő összegére a következőket kaptuk:
2. Tegyük fel, hogy a monotonitás egy részében a függvénynek az első fajtája a () pontban (14. A definitenség feltételezésekor azt feltételezzük, hogy ez a függvény monoton növekszik. Ezután az inverz funkciónak három ágja van (15. ábra)
Miután befejeztük az általános differenciálódást, az eloszlási sűrűség megfelelő összegére az (1) összegben:
Vegyünk példákat egy véletlen változó funkcionális transzformációira.
Egy random változó lineáris átalakítása.
Hagyja, hol és nem véletlenszerű változók.
Ebben az esetben. Ez az átalakulás monoton, és az inverz transzformációnak az a formája:
Így és a véletlen változó eloszlási sűrűsége egyenlő:
Egy véletlen változó lineáris transzformációjának várakozásai, varianciája és jellegfüggvényei a következők:
Hadd legyen. Keressétek egy valószínűségi változó eloszlási sűrűségét
Ha a fent leírt módszert alkalmazzuk:
Egy véletlen változó az alakzat nemlineáris transzformációján megy át:. Keressétek egy valószínűségi változó eloszlási sűrűségét
A faj átalakulása nem monoton, de lehetséges a monoton ágak meghatározása a szegmenseken és. Az ezen ágaknak megfelelő inverz függvények megegyeznek:
A (3) kifejezéssel összhangban egy random változó eloszlásának sűrűségére a következőket kapjuk:
Ugyanez érhető el, ha az elosztási függvény számítási technikáját alkalmazzuk:
Az általánosított származék számításakor a következőket kapjuk:
Véletlen változó. Keressétek egy valószínűségi változó eloszlási sűrűségét.
Az elosztási függvény számítási módját használjuk. hogy:
A származék kiszámításakor a következőket kapjuk:
Legyen egy véletlenszerű változó eloszlási függvénnyel. Véletlenszerű értéket kap az átalakulás felhasználásával :. Keressétek egy valószínűségi változó eloszlási sűrűségét.
Legyen folyamatosan növekvő funkció. Ezután van egy monotonikusan növekvő inverz függvény. Ennek a függvénynek a tartománya [0,1], és az értéktartomány a numerikus tengely.
Így a véletlen változó eloszlási sűrűsége egyenletes:.
Legyen egy véletlen változó egyenletesen elosztva a [0,1] intervallumban. Keressünk egy ilyen változást egy véletlen változóról annak érdekében, hogy egy adott eloszlásfüggvényhez egy véletlen változót kapjunk.
Legyen tetszőleges monoton tényező.
Ezután egy egyenletesen elosztott véletlen változó eloszlásfüggvényének tulajdonságait használva a következőket kapjuk:
Könnyű látni, hogy a kívánt eredményt akkor kapjuk meg, ha azt tesszük
Így egy [0,1] intervallumban egyenletesen elosztott, véletlenszerű változó egy adott eloszlási jogával rendelkező véletlenszerű változó megszerzéséhez a következő transzformációt kell végrehajtani:
Ezt a képletet széles körben használják a random változók számítógépes szimulációjával egy adott terjesztési joggal. Például annak érdekében, hogy exponenciális eloszlású véletlen változót kapjunk az eloszlási sűrűséggel, egy egyenletesen elosztott véletlen változó következő transzformációját kell elvégezni:.
3. Véletlen vektorok
3.1. Vektorok és mátrixok
Emlékeztetünk a lineáris algebra néhány koncepciójára.
Definíció: Legyen A és B legyen két csoport. Az A és B készletek közvetlen terméke a párokat jelenti.
Hasonlóképpen meghatározhatunk egy véges számú készlet közvetlen termékeit is.
A rögzítési elemek a termék formában tett n-mer-szekvenciák (n-NOC), ahol k-hely, hogy k-dik eleme a készlet :. Ha a közvetlen termék összes készlete ugyanaz, akkor helyettük írnak.
Különösen, ha az A készlet az igazi R számok halmaza, vagyis az igazi számok halmaza (n-nok). Elemei pontok, és a számok egy pont koordinátái.
Definíció A készletet lineáris (vektor) térnek nevezik, ha a következő axiómák teljesülnek:
1. Ha (minden elemének két elemére x és y x + y számát, amelyek ugyanannak a készletnek felelnek meg).
2. Valódi szám esetén a termék meg van határozva.
3.-kiegészítés asszociativitása;
4.- a kiegészítés kommutativitása;
5. B van olyan nulla elem, amely bármelyik számára.
A tér elemeit vektoroknak nevezzük, és a tér elemeit skalárnak nevezzük.
Az alábbiakban azt feltételezzük, hogy minden x vektor oszlop formájában van írva:.
Bevezetjük a vektorok átültetésének működését: - a vektor koordinátákat egy sorban írjuk.
Meghatározás: Egy térben lévő vektorok skaláris terméke egy olyan függvény, amely minden vektorhoz egy valós számot rendel. A vektorok skaláris termékét a következő képlet segítségével számítjuk ki:.
Skalár termék tulajdonságai
1. A skalár termék meghatározásából következik. Ha.
2. Minden két skalár esetében, és igaz:.
4. - a Cauchy-Bunyakovskii egyenlőtlenség.
Bizonyítsuk be a Cauchy-Bunyakovskii egyenlőtlenséget.
Az 1) tulajdonságból következik. A 2) vagyonból) :. Mivel ez az egyenlőtlenség mindenképpen érvényes, beállítottuk. Ezt a kifejezést helyettesítve megkapjuk a Cauchy-Bunyakovskii egyenlőtlenséget.
Definíció: Legyen két vektorteret. Egy lineáris operátor a formátum leképezése, ahol. Ebben az esetben azt mondjuk, hogy egy lineáris operátort az A forma mátrixa ad meg.
Ha A az eredeti mátrix, akkor az átültetés az űrlap mátrixa:
Nyilvánvaló, hogy ha az A 6-ból működik, akkor az az alábbiak szerint jár:
A négyzetes mátrix, amelynek fő átlója egy egység, és a fennmaradó elemek nullával egyenlőek, az azonosító mátrixnak nevezzük:. Itt van a Kronecker szimbólum.
Legyen A egy lineáris operátor 0-tól.
Lássuk az y és z vektorok skaláris termékeit:
Így a következő összefüggés tartja fenn:
A nagy mennyiség miatt ez az anyag több oldalra kerül:
1 2 3 4 5 6 7