Fák és azok tulajdonságai (egy adott típusú grafikon)
A megfontolt példa lehetővé teszi a következő két jellemző megismerését:
1 A s (G) listában a csúcsok megismételhetők.
2. Ha visszaállítja a fa utolsó borda csatlakozik a tetején a yp-2 és a többi lista 1, 2, ..., p nem egyenlő a tetején a yp-2.
Így a p-csúcsok és az s (G) csúcsok szekvenciájának halmaza között egy-egy egyező megfeleltetés van a felcímkézett fák halmaza között. Az ilyen szekvenciák száma nyilván pp-2, amit be kellett bizonyítani.
Felhívjuk a figyelmet arra, hogy pp-2 jelölt fák között p-csúcsoknál izomorf fák lehetnek.
Meghatározás 3. A részgráfot G1 (X1, E1) egy irányítatlan gráf G (X, E) az úgynevezett keret, vagy egy feszítőfának a grafikon a G, ha G1 - fa, és X = X1.
Tétel 4. A G (X, E) gráfnak van egy csontváza, ha és csak akkor, ha csatlakoztatva van.
Bizonyítás. Ennek szükségessége nyilvánvaló. Bizonyítsuk be elégségességét. Legyen G (X, E) egy összefüggő grafikon. Tudja meg, ha a gráf élek törlésére, amelyek nem sértik a kapcsolat a gráf Ha ilyen éleket nem, akkor a gráf egy fa, tétel szerint 1. Ha egy ilyen él, például e, ott, akkor dobja ki, és jön a gróf G1 (X, E1). Ezután elvégezzük a megadott eljárást a G1 ábrán stb. Véges számú lépés után a G grafikon vázlatát nyilvánvalóan megépítjük, a tétel bizonyított.
A tétel bizonyítása egy algoritmust ad egy csomó építéséhez egy összefüggő gráfban. Azonban a kapcsolódó gráfnak több csontváza is lehet, ezért természetes, hogy a további feltételeknek megfelelő csontváz kiválasztása problémát okoz.
Definíció 4. A betöltött élek (betöltött gráf) grafikonja egy G (X, E) irányítatlan gráf, amely minden élhezÎE, amely megfelel az m (e) ³ 0 számnak, amelyet az e szél súlyának vagy hosszának nevezünk.
Hasonlóképpen meg tudjuk határozni a betöltött digraffot.
Feltételezzük a G (X, E1) görbét a G (X, E) betöltött gráfban, ahol az összeg
minimális. Ezzel a tulajdonsággal rendelkező kockát minimális csontváznak nevezik. A 4. tétel szerint minden csatlakoztatott grafikonnak minimális vázlata van. Ez a probléma a kommunikáció és az áramvezetékek, utak, csővezetékek stb. amikor a rendszer szükséges, hogy csatlakoztassa a kommunikációs csatornák meghatározott csomópont úgy, hogy bármely két csomópont kapcsolódott keresztül (esetleg más csomópontok), és a teljes hossza a kommunikációs csatornák minimális; Ebben az esetben a csomópontok betöltött gráf csúcsainak tekinthetők, amelyek szélsúlyai megfelelnek a lehetséges csomópontok közötti lehetséges kommunikációs csatorna hosszának. Ezután a kívánt csatornahálózat lesz a diagram minimális vázlata.
Minimális vázszerkezet algoritmusa
Legyen G (X, E) egy összekapcsolt grafikon p-vel.
1. lépés: A szükséges minimális csontváz első szélénél egy e1 szegélyt választunk, amelynek legkisebb súlya m (e1). Ha több ilyen éle van, akkor mindegyiküket veszünk.
2. lépés A második borda veszi szélén e2 a több E \, amelynek a legkisebb súlyú m (e2), és úgy, hogy a beállított nem tartalmaz egyszerű ciklusokat. Ha több ilyen éle van, akkor mindegyiküket veszünk.
3. lépés A harmadik borda E3 él közül választjuk a beállított E \, amelynek a legalacsonyabb tömeg m (E2), és amely tartalmaz egy sor egyszerű ciklusok. Ha több ilyen éle van, mindegyiküket veszünk.
Ez a folyamat megismétlődik, és miután egy bizonyos számú k lépést ad az E = készletnek, amelyre a ciklus megjelenése nélkül lehetetlen széleket adni. A G1 szubgráf (X, E1) a G (X, E) gráf minimális vázlata.
Az algoritmus indoklása
Property által 6 1. Tétel épített részgráfot G1 (X, E1) egy fa, ezért a k = p -1. Igazolása a keret minimális G1 (X, E1) lesz két szakaszra oszlik. Először legyen G (X, E) - egy teljes gráf súlya minden az élek külön, és hagyja, hogy a G2 (X, E2) - a minimális keretében gráf Ha E2 ¹E1, majd úgy El - az első a több élek E1, E2 nem tartozik . Az oszlop
az 1. tétel 6. tulajdonsága alapján létezik egy egyedülálló egyszerű ciklus m. A ciklus m tartalmaz egy e0 éltÏE1. A G3 grafikon (X, E3), ahol
, nem tartalmaz ciklusokat, és n-1 élével rendelkezik, tehát fa. A készlet az E2-ben található, ezért nincs ciklus. Ezután a fenti algoritmus alapján m (e0)> m (el). Ebből következik, hogy a G3 (X, E3) fa összsúlya kisebb, mint a G2 fa (X, E2) súlya. Ez ellentmond G2 keret minimális, ezért E2 = E1 és G1 (X, E1) - egy egyedi minimális vázát gráf
Legyen G (X, E) tetszőleges kapcsolt összefüggő grafikon. Ha m (e1) = m (e2), akkor helyettesítjük
m (e1) ®m '(e1) = m (e1) + e,
m (e2) ®m '(e2) = m (e2) + 2e,
figyelembe véve, hogy az m (e1) és az m (e2) súlya más súlyokkal megmarad. Végezzük el a G grafikát, hozzáadva az ilyen éleket
. A kapott grafikonban az egyetlen minimális csontváz a vázszerkezet, amelyet a figyelembe vett algoritmus segítségével kaptunk meg. Látható, hogy ez a csontváz minimális az eredeti G (X, E) gráfban.
A 4. ábra mutatja a betöltött G gráfot és annak legkisebb G1 csontvázát.
