A nyelvoktatás oktatási és módszertani központja
1. LINEAR BLOCK KÓDOK
Példák előző szakaszban azt mutatják, hogy a probléma építésének jó előírások szerint a kód távolsága meglehetősen bonyolult, és kellően nagy hosszúságú kódszó nem lehet megoldani, még a nyers erő bevonásával modern számítástechnika. Csökkentése érdekében az építési minőség válogató berendezés kódok általános algebra. A gyakorlatban használt legtöbb kód lineáris kód.
1.1. Lineáris blokkkódok struktúrája
Emlékezzünk arra, hogy a logikai B n hely. B = az n hosszúságú bináris vektorok halmaza. működés Å A modulo 2 kiegészítés egy csoportos művelet, és a B n készlet egy lineáris tér a művelettel Å és megszorozva egy skalárral a készletből.
Egy lineáris bináris vagy csoportkód a B n lineáris tér szubttere.
Így a lineáris kód az n hosszúságú bináris szavak nem üres halmaza, amelyet kódszavaknak nevezünk. úgy, hogy a két kódszó összege egy kódszó. Minden lineáris kódban a nulla szó 0 = 0. 0 végrehajtja a nulla szerepét. Ráadásul egy lineáris bináris kódban minden szó ellentétes önmagával, mivel c Å c = 0, bármely c eseténÎB n. Leginkább lineáris bináris kódokat fogunk figyelembe venni. Ezért a "bináris" szót el kell hagyni, és a műveletet Å A modulo 2 kiegészítéseket egyszerűen az addíciós műveletnek nevezzük, és + jelzéssel jelöljük.
Egy példa. Tekintsük a V = készletet. Egy közvetlen ellenőrzés azt mutatja, hogy a készlet két szójának összege a készlet egy eleme, vagyis az V lineáris kód.
Emlékezzünk, hogy a lineáris (n, k) - a kódszám k a méret a blokk információs szimbólumok, amelyet azután, a kódolás során, átalakítjuk egy blokk n szimbólumok, ahol n> k. A hozzáadott n-k szimbólumokat ellenőrző karaktereknek nevezik. Ne feledje, hogy nem mindig lehet megmondani, hogy melyik karakterek informatívak, és melyek azok a teszt szimbólumok.
Például egy lineáris (5,3) -code V = alapon egy készlet. A 01010 vektort lineáris kombinációként ábrázoltuk 01010 = 1 × 10011 + 1 × 11001 + 1 × 11100. Egy közvetlen ellenőrzés ellenőrizheti, hogy a kód távolsága 3.
Általában a kód távolságának megtalálásához a kódszavakat egymással hasonlítjuk össze. Azonban a lineáris kódban a kód távolsága megegyezik a nem nulla kódszó legkisebb tömegével.
Tétel 1.1. A lineáris kód kódvonala megegyezik a nem nulla kódszó legkisebb tömegével.
Bizonyítás. Hagyja, hogy a kód távolsága megegyezzen az x és y kódszavak közötti távolsággal. Mivel V egy lineáris kód, x + y = z szintén tartozik az V kóddal; kb. dV = w (z). Mivel a nulla szó a V kódhoz tartozik, a kód nem tartalmaz nulla nulla szavakat, mint a dV-t.
Bizonyítás. Minden kódszó az alapvető kódszavak lineáris kombinációja. A különböző lineáris kombinációk száma egyenlő, azaz | V | ≤ 2 k. Két különböző együtthatójú lineáris kombináció nem egyezik, mivel az alapvektorok lineárisan függetlenek. Ezért | V | = 2 k.