Vesnina a
7. Példák a véletlen változók eloszlására
Egy diszkrét véletlen változó binomiális eloszlású, ha lehetséges értékei 0, 1, ..., n. és azt a valószínűséget, hogy a képletben kifejezve
,
hol.
A binomiális törvény szerint elosztott véletlen változó matematikai várakozása megegyezik a varianciával.
Egy diszkrét véletlen változó Poisson eloszlású, ha lehetséges értékei 0, 1, ..., m, ..., és annak valószínűsége, hogy azt a
,
hol van a Poisson-törvény paramétere.
A Poisson-törvény szerint elosztott véletlen változók matematikai várakozásai és varianciája megegyezik a paraméterrel.
Egy folyamatos véletlen változó azt mondják, hogy egyenletesen oszlik el az intervallumban, ha ennek az intervallumnak az eloszlási sűrűsége állandó.
A szekcióban egyenletesen elosztott véletlen változók matematikai várakozásai és varianciája egyenlő
.
A folyamatos véletlen változót exponenciális eloszlásnak nevezzük, ha annak eloszlási sűrűsége van
hol van az exponenciális törvény paramétere.
Egy exponenciális törvény szerint elosztott véletlen változó esetén,
Az elosztási funkciónak van formája
A folyamatos, véletlenszerű változót a szokásos törvény szerint osztják el, ha az eloszlási sűrűsége
.
A normális törvény szerint elosztott véletlen változó matematikai várakozása egyenlő, de a variancia.
A valószínűségi változó valószínűsége az intervallumba esik
,
ahol - táblázatos,
innen.
Tipikus feladatok a közönségben való megoldáshoz
1. A lövő három lövést hajt végre a célponton. Minden egyes lövésnél a cél elérése valószínűleg 0,3. Számítsd ki a találatok eloszlásának számát, és számítsd ki a meghatározott véletlen változó matematikai elvárásait és varianciáját.
A megoldás. A véletlen változó a találatok számának 3 lövés, a binomiális törvény szerint osztva, lehetséges értékei 0, 1, 2, 3.
;
Egy sor változó eloszlás:
Az így kapott eloszlást geometriai eloszlásnak nevezzük.
.
A kapott sorozat összegének kiszámításához a sorozatot tekintjük
.
Itt van.
Feladatok a közönség megoldására
1. A véletlen változó binomiális eloszlási törvénye numerikus jellemzőkkel rendelkezik. Határozzuk meg egy valószínűségi változó valószínűségét egy szegmensbe.
2. Ismeretes, hogy a tételekben 10% hibás alkatrész van. Keressétek meg egy véletlen változó eloszlásának törvényét - az öt, véletlenszerűen választott megfelelő részek számát. Határozza meg ennek a törvénynek a numerikus jellemzőit.
3. A bombázó támadások által az ellenséges területre ható harci támadások száma a matematikai elvárásoknak megfelelő Poisson-törvény szerinti elosztott véletlenszerű mennyiség. Minden támadás 0,4-es valószínűséggel végződik bombázó vereségben. Határozza meg: a) a bombázó kár valószínűségét; b) ugyanaz a valószínűség, ha a harci támadások száma -
Nem véletlenszerű mennyiség, és pontosan három.
4. Az érmét a címer első megjelenése előtt dobják ki. Keresse meg az átlagos számokat.
5. Az ampermérő skála osztásának értéke A. Az ampermérő értékek meghatározása a legközelebbi egész osztályra történik. Keresse meg annak valószínűségét, hogy az A-t meghaladó hiba.
Megjegyzés. A minta kerekítési hibája véletlenszerű változónak tekinthető, amely egyenletesen oszlik meg a két szomszédos egész osztás közötti időközönként.
6. A keresési idő alatt felmerülő roncsok valószínűségét a képlet adja meg. Határozzuk meg a véletlen változó matematikai elvárásait az idő, hogy egy elsüllyedt hajót keressünk.
7. A rúd terhelése numerikus jellemzőkkel megfelel a normál elosztási törvénynek. A rúd megsemmisítésének ereje. Keresse meg a rúd megsemmisülésének valószínűségét.
8. A géppuska teszi a görgőket, átmérőjük ellenőrzésére. Feltételezve, hogy normálisan elosztják, találjon egy olyan intervallumot, amelyben az előállított görgők átmérője 0,9973 valószínűséggel záródik le.
Feladatok a közönség megoldására
9. Annak a valószínűsége, hogy a nagy tételben való tűréshatáron belül egy rész megérkezik, megegyezik. Keresse meg az alkatrészek számának matematikai elvárásait és varianciáját a véletlenszerűen kiválasztott 8 részlet toleranciáján belül.
10. A városi villamos ezen útvonalának vonatai 5 perc időtartamúak. Az utas egy bizonyos időpontban megközelíti a villamosmegállást. Mi az a valószínűsége, hogy az utas az előző vonat elhagyása után legfeljebb egy perccel jelenik meg, de legkésőbb két perccel a következő vonat indulása előtt?
11. A véletlen változó a szokásos törvény szerint oszlik meg matematikai várakozással és varianciával. Számítsd ki egy valószínűségi változó valószínűségét egy intervallumra.
12. Úgy gondolják, hogy a gyártott alkatrészek hosszának a szabványtól való eltérése véletlenszerű mennyiség, a szokásos törvény szerint elosztva. Ha a szabvány hossza megegyezik, és a szórás egyenlő, akkor mekkora valószínűséggel biztosítható a termék hossza pontossága?
13. Egy radioaktív elem által kibocsátott részecskék száma tetszőleges időintervallum alatt Poisson-eloszlással rendelkezik. Meg kell találni azt a valószínűséget, hogy a két másodpercen belül kibocsátott részecskék száma egy intervallumban lesz.
14. A két szomszédos repülőgép közötti távolság exponenciális eloszlásban, és. A repülőgép ütközésének veszélye akkor fordul elő, ha a távolság a. Keresse meg azt a valószínűséget, hogy fennáll a repülőgép ütközés veszélye a levegőben.
A m e s t
1. 2. 3. a); b).
4 .. 5 .. 6 .. 7 .. 8 ..
9 .. 10. 11. 12.
13. 14.
8. Véletlen változók rendszerei
A két véletlen változó rendszerének eloszlásának funkciója egy függvény.
Egy folyamatos véletlen változó rendszer esetében létezik egy valószínűségi eloszlási sűrűség, amelyet a következőképpen határozunk meg:
.
A valószínűségeloszlási sűrűség nem negatív:
.
A rendszerbe belépő valószínűségi változók valószínűségi eloszlásának sűrűsége:
A véletlen változókat függetlennek nevezik. ha
.
Egy táblázat két különálló véletlen változó rendszerét határozhatja meg. amelyben a véletlenszerű változók értékeinek párjai és azok megfelelő valószínűségei adottak.
Itt van egy olyan esemény valószínűsége, amely az egyenlõségek egyidejû végrehajtását foglalja magában. Ebben az esetben. A fenti táblázat tartalmazhat számozott sorokat és oszlopokat.
A véletlen változók rendszerének valószínűségi eloszlásainak táblázatából megtalálható a rendszerbe belépő véletlenszerű változók elosztási joga:
, .
A különálló véletlen változókat függetlennek nevezik. ha
.
A két véletlen változó rendszerének kezdeti és központi pillanatai a következők:
és kiszámítható a képletekből
,
(diszkrét véletlen változók esetén)
és
(folyamatos véletlen változók esetén).
A központi pillanat a korrelációs pillanat. A korrelációs pillanat jellemzi a random változók lineáris függőségét. A random változók közötti kapcsolat dimenzió nélküli jellemzője a korrelációs együttható
.
Ha a rendszerben a véletlen változók függetlenek, akkor; Általában a korreláció miatt a véletlen változók függetlensége nem következik.
Tipikus problémák megoldása
1. Két doboz tartalmaz golyókat, mindegyik 6 golyó. A dobozban 1 golyó - az 1., 2. golyó a 2., 3. golyó a 3. számú golyótól; a második fiókban - 2 golyó az 1., 3. golyó közül a 2. és az 1-ből a 3. sz. Nézd meg a véletlenszerű mennyiségeket: - a golyó száma az első fiókból; - a golyó száma a második dobozból. Minden egyes fiókból kivették a labdát. Hozzon létre egy táblázatot a véletlen változók rendszerének eloszlásához. Találd meg a matematikai elvárásokat, varianciákat és. korrelációs együttható.
Keresse meg a disztribúció sorozatát u. Ők lesznek függetlenek és?
2. A cél két független felvétel készítése. Az a valószínűsége, hogy a célt az első lövéssel ütik, egyenlő, a második -. Létre kell hozni egy kétváltozós rendszer eloszlásának tábláját, ahol az első lövés találatainak száma, a második lövés találatainak száma. Keresse meg a rendszer elosztási funkcióját.
3. Független véletlenszerű változók, és a következő terjesztési törvények hatálya alá tartoznak :,
Írj egy kifejezést két véletlen változó rendszerének eloszlásfüggvényére.
4. Két random változó rendszerének eloszlásfüggvényét adjuk meg:
Határozza meg, hogy a véletlen változók függenek-e. Keresse meg a rendszer valószínűségének valószínűségi sűrűségét. Számítsa ki a numerikus jellemzőket.
5. A véletlen változók rendszerének sűrűsége van
.
Határozza meg az értéket. Keresse meg az elosztási funkciót ,,. Határozza meg a véletlenszerű pontnak az egyenlőtlenségek által adott régióba eső valószínűségét :.
6. Két véletlenszerű változó rendszere, a téglalapon belüli egyenletes sűrűség joga szerint :. Határozzuk meg a valószínűségi eloszlás sűrűségét és annak valószínűségét, hogy egy véletlenszerű pont egy oldalirányba esik, ha ennek a négyzetnek a középpontja egybeesik a származással.
7. Két független véletlen változó rendszerének valószínűségi eloszlási sűrűségét a következő kifejezés adja:
.
Keresse meg az ismeretlen paramétert és határozza meg a rendszer korrelációs mátrixát.
Feladatok a közönség megoldására
8. A két véletlen változó rendszerének elosztási törvényét egy elosztási táblázat adja meg (1. ábra). Keresse meg a következő rendszer jellemzőit :.
9. A véletlenszerű mennyiségek függetlenek és valószínűségi eloszlási sűrűségük egyenlő:
Határozzuk meg a random változók rendszerének eloszlásfüggvényét. Keressük meg a random változók rendszerének numerikus jellemzőit.
10. A véletlen változók közös eloszlásának funkcióját kifejezéssel adjuk meg
Határozza meg, hogy a véletlen változók függenek-e. Keresse meg a rendszer valószínűségének valószínűségi sűrűségét. Keresse meg az egyenlőtlenségek egyidejű teljesítésének valószínűségét.
11. Határozzuk meg a két véletlen változó rendszerének matematikai elvárásait és korrelációs mátrixát, ha a rendszer valószínűségi sűrűsége a következő alakú:
.
Határozzuk meg, hogy egy véletlenszerű pont egy sugarú körbe esik-e.
12. A véletlenszerű pontnak egyenletes eloszlása van egy egyenes vonal által határolt téglalapon belül. Keressük meg a random változók rendszerének eloszlásfüggvényét.
13. A két véletlen változó rendszerének valószínűségi eloszlási sűrűsége van.
Keresse meg a rendszer következő numerikus jellemzőit
.
13.
BIBLIOGRÁFIAI LISTA
1. Abezgauz G.G. és más referenciakönyv a valószínűségi számításokról. M. Voenizdat, 1970.
2. Borovkov A.A. Valószínűségelmélet. M. Nauka, 1976.
3. Wenzel E.S. Valószínűségelmélet. M. Nauka, 1969.
4. Wenzel E.S. Ovcharov L.A. Valószínűségelmélet. Feladatok és gyakorlatok. M. Nauka, 1969.
5. Vilenkin N.Ya. Kombinatorika. M. Nauka, 1969.
6. Vilenkin N.Ya. Népszerű kombinatorika. M. Nauka, 1975.
7. Gmurman V.E. Valószínűség és matematikai statisztika. M. Felsőoktatás. Iskola, 1972.
8. Gmurman V.E. Útmutató a problémák megoldásához a valószínűségelméletben és a matematikai statisztikákban. M. Felsőoktatás. Iskola, 1970.
9. Gnedenko B.V. A valószínűségi elmélet folyamata. M. Fizmatgiz, 1961.
10. Gursky E.I. A valószínûség elmélete a matematikai statisztikák elemeivel: M. Vyssh. Iskola, 1971.
11. Yezhov I.I. Skorokhod A.V. Yadrenko M.I. A kombinatorika elemei. M. Nauka, 1977.
12. Ivashov-Musatov, O.S. Valószínűség és matematikai statisztika. M. Nauka, 1979.
13. Kovalenko I.N. Filippov A.A. Valószínűség és matematikai statisztika. M. Felsőoktatás. iskola, 1973.
14. Prokhorov Yu.V. Rozanov Yu.A. Valószínűségelmélet. M. Nauka, 1973.
15. Pugachev V.S. Valószínűség és matematikai statisztika. M. Nauka, 1979.
16. Problémaelméleti problémák gyűjtése, matematikai statisztikák és véletlenszerű funkciók elmélete, Ed. A. Sveshnikova M. Nauka, 1970.
17. Tutubalin V.N. Valószínűségelmélet. M. Izd-vo MGU, 1972.
18. Feller V. Bevezetés a valószínűség elméletébe és alkalmazásaiba. M. Mir, 1964.