Rugalmas poliéder
Chebyshev mechanizmusa A projekt összegyűjti a nagy orosz matematikus - Papnutii Lvovich Chebyshev (1821-1894) által létrehozott mechanikát.
Mathesis Odessza kiadó "Mathesis" 1904 és 1925 között meglepően érdekes könyveket készített. Néhányan klasszikusokká váltak, néhányat elfelejtettek. Egyesíti őket, hogy mindegyikük ritkaság.
V.O.F.E.M. A népszerű tudományos folyóirat elektronikus változata, amely az orosz nyelvű irodalom műfajának tendenciáját határozta meg.
Ha otthon kell építened a szekrényt, akkor jól emlékszel arra, hogy amíg a hátsó fal meg nem szegeződik, hajlik. Amint a hátsó fal be van helyezve, a szekrény - nyitott poliéder, egy élével - merevre válik. Ha hozzá egy elülső falat, vagy bármilyen más felépítményt hoz létre a szélén, amely lezárja a poliédert, akkor persze a merevség marad.
Van-e zárt hajlított poliéder?
A kérdésre adott válasz sokáig nem található. Ahogy a tudományban szokásos, a probléma vizsgálata során egyszerűbb esetet kell figyelembe venni. A hajlított poliéder problémája esetén a problémát ne a térben, hanem olyan síkban vesszük figyelembe, ahol a poligon a poliéder analógja.
Van hajlított sokszög? Ie azok, amelyekben az oldalak rögzítve vannak, a szögben lehetséges a hajlítás (a síkban), és maguk a poligonok megváltoztatják formájukat? Mindegyik modell szabványos csatlakozással, sarkokból készülhet.
Ha ez egy háromszög létrehozása, akkor nem hajlik meg. Ie Az oldal hossza teljesen meghatározza a háromszöget. Tehát határozza meg a területét - a Geron képlet segítségével kiszámolhatja azt, csak az oldalak hosszán alapulva.
Ha négyes vagy ötszögű vezetéket vagy több csúcsú poligont készít, akkor bármelyikük hajlani fog. Ennek következtében a Gerona képletének analógja - a poligon területének kiszámítására szolgáló formula, amely csak az oldalak hosszán alapul - háromnál nagyobb szögek számával nem lehet.
Térjünk vissza a térbe. Mi a hajlítható poliéder, ha létezik? Egy sík problémához hasonlóan az arcok (amelyeknek kisebbnek kell lennie a tér méreténél), merev lapoknak kell lenniük. A két arcot összekötő szögletes szögnek képesnek kell lennie arra, hogy megváltozzon, mintha egy él (egy "dimenziójú" "arc") zongorahurok segítségével valósulna meg.
Nézzük meg a megfelelő poliédert. Ha a modelleket "zongorahurokként" szélekké teszi, biztos lehet benne, hogy nem hajlamosak lesznek. Kiderül, hogy ez egy általános tény a konvex poliéder számára. A tétel bizonyítása a francia matematikus Augustin Cauchy (1789-1857) 1813-ban, azt mondja, hogy egy konvex poliéder, megadott arcok és azok feltételeit ragasztás egyedülálló. Ie A konvex poliéder nem válik hajlíthatóvá.
A hajlított poliéderek elsõ matematikai példáit, természetesen nem domború, és ezeknek a tárgyaknak az osztályozását a belga mérnök René Bricard építette 1897-ben. Matematika, mert ezek a poliéder nem csak nemkonvex, de az önmagát metsző - szélük átfedik egymást. Matematikailag ez is egy poliéder, de annak végrehajtására a háromdimenziós térben lehetetlen. 1975-ben az amerikai matematikus Robert Connelly rájött, hogyan lehet megszabadulni a kereszteződésekben a (az úgynevezett „bevágás Connelly”), és nem volt „igazi” rugalmas poliéder. A legegyszerűbb, eddig ismert, 9 csúcsból, 17 élből és 14 arcból áll, most épül fel. 1978-ban a német matematikus, Klaus Steffen találta fel.
A Steffen poliéder fejlődése két azonos részből és egy "fedőből" áll. Még emlékezve a megjelenése a sweep, de nem tudta, a hossza élek, hogy építsenek egy ilyen poliéder legnehezebb: a képesség, hogy a flex - ez még mindig egy kivétel poliéder, és az ilyen viszonylag kicsi.
Megmutatható, hogy egy 7-es és annál kevesebb csúcsponttal nem rendelkező, nem elszíneződő poliéder nem tud görbölni. A fent leírt Steffen poliéder 9 csúcsot tartalmaz. De van-e olyan hajlító, nem önmagát metsző poliéder 8 csúcsmal, amely még ismeretlen.
Amikor a matematikusok felismerték, hogy a hajlított poliéderek felmerülnek, a "kovácsok hipotézisének" nevezik. Mi az, amit a kovács fújt le a szenet? Mivel a harmonika játszik. Működési elvük a belső volumen változásán alapul. És mi a helyzet a poliedrák hajlításával - térfogata megváltozik hajlításkor? Lehetséges-e, hogy a kovács vagy a fújtató nem a bőrből, hanem a merev tányéroktól, poliéder formájában?
A XX. Század végén az orosz matematikus I. Kh. Sabitov teljes választ adott erre a kérdésre. Kiderül, hogy egy térfogatú poliéder, beleértve a hajlítottakat is, van egy bizonyos analógja a Geron-képletnek egy háromszög területére. Vagyis egy változó polinomja létezik, hogy annak együtthatói csak a poliéder éleinek hosszától függnek, és a térfogat ennek a polinomnak a gyökere. Mivel a hajlított poliéder szélei nem változnak meg, maga a polinom és így a gyökerei nem változnak, ha a poliéder maga hajlik. De egy változó egy polinom különböző gyökerei konkrét számok, amelyek egymástól bizonyos távolságban helyezkednek el. A poliéder kis perturbációjával a térfogat kis mértékben változhat, ezért nem tud mereven ugrani a polinom egyik gyökérétől a másikig. Ezért a hajlított poliéder térfogata nem változik, ha hajlítanak!
A poledra hajlításának kérdését a háromdimenziós térben használtuk. És mi történik nagyobb méretben?
Az állandó pozitív görbületben lévő térben a hajlítási poliedra térfogata már nem feltétlenül állandó (még a 3. dimenzióban is). És Lobachevsky térben (állandó negatív görbület) a térfogat állandóságát csak a 3., 5., 7., ... (páratlan) dimenzióban igazolták. A változó térfogatú hajlítópalléderek példáinak egyenletes méretei ismeretlenek, de még nem bizonyították állandóságát.
És az euklideszi terekben vannak megoldatlan problémák. Például a 4-től kezdődő méretekben az összes ismert hajlító poliéder önmagát metszi. Van-e nem önmagát metsző - ismeretlen.