Egy sík hullám egyenlete
2. FEJEZET
Egy sík hullám egyenlete
Tegyük fel, hogy bármely síkban merőleges az X tengely, mind a mennyiségeket jellemző hullám mozgás egy adott időpontban, azonos, és változtatni az állam a mozgás csak akkor fordul elő az átállás során egy másik gépre. Ebben az esetben az (1.14) egyenletben szereplő származékok nullának felelnek meg, de csak a hullámfolyamattól függenek, és az alábbi egyenlettel írják le:
Ez egy hullámhullám hullámegyenlete. Ennek az egyenletnek a formája azt mutatja, hogy minden mozdulat csak az x tengely irányában fordul elő, mivel a t sebességek mindig nulla értékűek. A (2.1) egyenlet megoldására az Alembert-módszer szerint új változókat vezetünk be:
és a redukciót követő egyenlet:
Integrálva azt találjuk, hogy a másodlagos integráció önkényes funkciója:
ahol a, egy tetszőleges függvény önkényes integrációs állandóként jelenik meg.A változók visszatérésével kapunk:
ahol teljesen önkényes függvények egy adott formában. Így a hullámegyenlet általános megoldását nem a funkció formája jellemzi, hanem a változókból álló érv formája
A (2.2) -ből a (1.9) és (1.10) képletek szerint:
ahol a funkció származékai az érveléssel. Következésképpen ugyanolyan típusúak, mint két tetszőleges függvény.
Tegyük fel, kezdetben a közegben a tartományban legfeljebb egy perturbáció létre, amely felgyorsítja ebben a tartományban nulla, és a nyomás a kezdeti időben feltételek nagyon eltérő lehet; ezeket kezdeti feltételeknek nevezik. Az első egyenlet (2.3), majd enged következtetni, hogy a tartományban legfeljebb és szerint tehát egy második egyenletet (2.3) két egyenlő részre, és kezdve x at
A lendület első része egy adott pillanatban megadja az érvelés értékét az a-tól t-ig terjedő intervallumban, azaz az abszcisszal rendelkező pontok között (2. Más szavakkal, az impulzus első része az alakváltozás nélkül mozogni fog a pozitív x tengely mentén.
Az impulzus második része az impulzusnak ezt a részét megelőzően vagy attól az érv intervallumában adja meg, anélkül, hogy megváltoztatta volna az alakját,
az x tengelyen. A sebességnek mindkét impulzus mindegyikének régiójában értékeket kell tartalmaznia, és nulla lesz abban a térben, ahol az impulzusok egymásra helyezkednek. Az 1. ábrán. A 2. ábra a teljes impulzus nyomásösszetevõinek helyzetét és nagyságát mutatja a kezdeti és az azt követõ két idõszakban.
Ha a kezdeti időben van egy bizonyos nyomás impulzus tetszőleges alakú (vagy egy előre meghatározott sebességgel, mint az X függvényében, következik egyenletek (2.3) meg lehet határozni mindkettő tetszőleges funkciók általában nem egyenlő egymással. Az idő múlásával formájában impulzusok mozog anélkül megváltoztatva a formákat, az első az irányt és a második az irányt
Ezekből megfontolások nyilvánvaló, hogy egy bizonyos fázisában egyes impulzusok megfelelő értéket argumentum funkciók vagy (kezdete, vége, a maximális vagy más jellemző pont abban az esetben, az impulzus komplex formában) ideje alatt a, hogy az első része a pulzus, által kifejezett függvényeként az érv mozgatjuk pozícióig de a helyzetben. A második rész, amelyet az argumentumfüggvény fejt ki pozíciótól a pozícióig
Így az irányba terjesztő lendület első részében:
és az impulzus második részében a -x,
Ezekből kifejezések egyértelmű, hogy az összeg a korábban bevezetett egy fizikai jelentése tetszőleges terjedési sebessége lendület minden réteg a közeg. Ha a frekvenciák nem függenek a frekvenciától, akkor a c sebesség nem függ a frekvenciától, vagyis a hanghullámok nem diszpergálódnak. Az ultrahanghullámok körzetében a x gázok alapvetően a frekvenciától függenek, aminek következtében megjelenik a diszperzió. Következtetések A változhatatlansága az impulzus alakja egyaránt, hogy a nyomás pulzus vagy a pulzusszámot a részecskék, valamint az impulzus, amely a kettő kombinációja, és érvényes, ha nincs diszperzió. Bármely (lapos) közepes torzulás származik egy réteg a kezdeti időben, továbbításra kerül formájában két impulzus visszahúzódó ellentétes irányban sebességgel s, és az alak a pulzus, t. E. A forma és a funkció a terjedési nem változik. A rugalmas tápközeg deformációinak ilyen terjedési folyamatát síkhullámnak nevezzük. Mivel a részecskék oszcillációinak sebessége a hullámterjedési vonal mentén történik, ebben az esetben hosszanti hullámok vannak.
Amikor egy impulzus olyan gázon jelenik meg, amely közel van a síkhoz egy merev falhoz, a hullámfolyam nem mozdulhat el a negatív x tengely mentén, és a hullámegyenlet megoldása a következő formában írható:
Ha a médium mozgása egy szilárd határvonalon (vagy a függvénynek a formájára) adott idő függvényében adódik, akkor a függvény formája ismert lesz, és a hullámfolyamat minden pillanatban teljesen meg lesz határozva a médium minden más pontján. Így ebben az esetben a hullámfolyamat típusának teljes meghatározásához nem szükséges két független kezdeti körülményt meghatározni a részecske nyomására és sebességére, de elegendő csak egy határfeltétel meghatározására, akár a
vagy azért, mert ezek a mennyiségek, amint az egyenletből látható, egymáshoz kapcsolódnak.
Ha például a függvény időszakos, vagy pedig periodikus hullámfolyamatot kapunk, akkor a gerjesztési sík mindkét oldalán a c sebességgel futunk.
A (2.4) egyenlet olyan hullámot ír le, amely csak az egyenletek felosztása irányába terjed tovább:
Az impulzusalakú (és egy szakaszos eljárásban) mozgó hullámban a nyomás bármely ponton arányos a részecskék sebességével, és ugyanabban a fázisban van vele.