Differenciálhullám-egyenlet és annak megoldása
A hosszanti hullámok mind szárazanyagokban, mind folyadékokban vagy gázokban terjedhetnek. A hosszanti hullámok példája a folyadékok és gázok hanghullámai. Ezek a nyomásfrekvenciák terjednek ezen médiumokban.
Hullámfolyamat. A hullámfront fogalma.
MŰSZAKI HULLADÉKOK ELASTIK KÖRNYEZETBEN
A test rezgő egy rugalmas közegben, periodikusan hat szomszédos környezetre a részecske, hogy azokat ki egyenlő pozíciók egyensúlyi-kényszerítve és végre kényszerített rezgések zavaró részecskék közepes. .
A rugalmas közegben elterjedt mechanikai perturbációk (deformációk) elasztikus hullámoknak nevezik.
A mágneses pontok geometriai elhelyezkedését, ahol a részecske-oszcillációk fázisa azonos, hullámfront vagy hullámfelületnek nevezzük. Például vannak olyan gömbös hullámok, amelyek olyan oszcillációs pontforrásból származnak, amelynek hullámfelülete gömb.
A rugalmas hullám hosszirányú. Ha a közeg részecskéinek oszcillációja a hullám terjedésének irányában történik. Ha a közeg részecskéi a hullám terjedésének irányára merőleges síkokban ingadoznak, akkor egy ilyen hullámot keresztirányúnak neveznek.
Keresztirányú hullámok csak olyan tápközegben keletkezhetnek, amelyek rugalmassá válnak, azaz képesek ellenállni a nyírási deformációnak. Ezért a keresztirányú hullámok csak szilárd anyagokban létezhetnek. Ilyen például a hangszerek húzása mellett terjedő hullám.
A táptalaj egyéb mechanikai mozgásától (például áramlásától eltérően) a rugalmas hullámok elterjedése a közegben nem kapcsolódik az anyag szállításához.
A részecskék távolsága UT (u # 8209; a propagációs sebesség, és T az oszcillációs periódus) oszcillálnak ugyanabban a fázisban. A legközelebbi részecskék közötti távolságot, amely ugyanabban a fázisban oszcillál, az l hullámhossznak nevezzük.
ahol n # 8209; oszcillációs frekvencia.
Tekintsük egy hosszanti hullám terjedését egy vékony elasztikus rúdban, amelyet az oszlop egyes pontjain (x = 0) elhelyezkedő rezgésforrás hoz létre. Válasszuk ki a rúd hossza mennyiségét (9.1 ábra) Az x és x + # 916 pontokon keletkező rugalmas erők hatása alatt; x, a vizsgált térfogat a nyújtást és a tömörítést deformálódik.
Legyen s a kiválasztott térfogat határainak elmozdulása az egyensúlyi pozíciókból. Az adott kötetre alkalmazva a tömegközéppont törvénye differenciálegyenletet eredményez
ahol t az idő, # 961; A rúd anyagának sűrűsége, és E a Young modulus.
A (9.1) egyenletet különbségi hullám-egyenletnek nevezzük, amely egydimenziós formában van írva.
Az egyenlet (9.1.) Oldata az x tengely irányában terjedő hullámhoz. a következő formában van:
ahol A a közepes részecskék (hullám amplitúdó) vibrációs amplitúdója; w a forrás oszcillációinak ciklikus frekvenciája, ami megegyezik a hullám által okozott közeg részecskéinek oszcillációjával.
Megmutatható, hogy ez az egyenlet általános jellegű. A háromdimenziós formában a hullámegyenlet a következő alakú:
ahol Ñ 2 # 8209; Laplace kezelő:
Ezen egyenlet megoldása a közeg részecskéinek elmozdulása az egyensúlyi pozíciókból, a koordináták és az idő függvényeként. s = s (x, y, z, t).
Meghatározzuk az u mennyiség jelentését a (9.2) és a (9.3) egyenletekben, amelyeknek a sebesség dimenziója van. Meghatározzuk a fázis bármely értékét, a (9.2) egyenletben, beállítást
A kifejezés (9.4) a hullámfront elterjedését írja le. Differenciálódás (9.4)
Az u hullám terjedési sebessége a fent megadott egyenleteknél a fáziseltolási sebesség, ezért ezt a sebességet a fázis sebességnek nevezzük.
A (9.1) egyenletből következik
A szilárd anyagok hosszanti hullámainak fázissága függ a Young E modulustól és a közeg sűrűségétől.
Megmutatható, hogy a keresztirányú hullámok sebességét a nyírási modulus határozza meg:
Az ideális gázban levő hullámok sebessége az adiabatikus szaporítási folyamat számára az abszolút hőmérséklet függvénye:
ahol # 947; - az adiabatikus exponens (a gáz izobár és izochorikus hőkapacitásának aránya, # 947; = cp / cV), R az univerzális gázállapot, T az abszolút hőmérséklet, # 956; A gáz moláris tömege.
A függvény (9.2) egy síkhullámot ír le, mivel a hullámfront egy sík.
A síkhullám egyenlete szimmetrikus formában ábrázolható t és x vonatkozásában. Ehhez be kell mutatni a hullámszám fogalmát:
A (9.7) használatával kapunk egy kifejezést az u sebességre:
Ezután a hullámegyenletet írja le
Ha a hullámot a forrás méreteinél sokkal nagyobb távolságban veszik figyelembe, akkor a forrás pontforrásnak tekinthető. Ebben az esetben a hullám gömbölyű egy izotróp közegben. Az ilyen hullámot a differenciál-egyenlet (9.3.) Megoldja, amely a gömb alakú koordinátákban szerepel. A gömb alakú hullámegyenlet az alábbi formában van:
A (9.9) szerint a gömbhullám amplitúdója inverz módon változik a hullámfronttól a forrásig.
A hullám amplitúdójának távolsága attól függ, hogy mivel a hullám elülső része egyenlő időintervallumokkal távolítja el a forrástól, a tápközeg folyamatosan növekvő mennyiségei a vibrációs mozgásban vannak.