Vektorterek példái
1) Valamely változó valós értékű valósértékű függvényei, amelyek folyamatosak a (0; 1) intervallumon a funkciók hozzáadásának szokásos műveleteihez képest, és megszorozzák a funkciót egy számmal.
2) A polinomok halmaza egy betűvel, a K mezőben az együtthatókkal, a polinomok hozzáadásával és a polinomok szorzással történő szorzásával.
3) Összetett számok halmaza komplex számok hozzáadásával és szorzással valós számmal.
4) Az ugyanolyan méretű mátrixok készlete a K mezőből származó elemekkel a mátrixok hozzáadásához és a mátrixok szkárral történő szorzásához.
A következő példa a 4. példában egy fontos speciális eset.
5) Legyen tetszőleges természetes szám. Jelölje meg az összes n oszlop halmazát, pl. egy mátrixkészlet a K. méretű mező felett.
Egy készlet vektortér egy K mező fölött, és az n magasságú oszlopok aritmetikai vektortartományának nevezzük.
Különösen, ha a K tetszőleges mező helyett a valós számok mezőjét vesszük fel, akkor a vektorteret az n magasságú oszlopok valós aritmetikai vektortartalmának nevezzük.
Hasonlóképpen a vektortér a mátrixok halmaza a K méretű mezőn, vagy más szavakkal az n hosszúságú sorok. Azt is jelölik, és az n hosszúságú karakterláncok aritmetikai vektortartalmának is nevezik a K. mező fölött.
A vektortér vektorainak rendszerei.
Definíció. A vektortér vektorjainak rendszere a végtelen, nem üres vektorok készlete.
ahol a K mező kaszái az V vektortér vektorai, a vektorok rendszerének lineáris kombinációja. A skalarokat ezt a lineáris kombináció koefficienseinek nevezik.
Definíció. Ha a lineáris kombináció (1) összes együtthatója nulla, akkor egy ilyen lineáris kombinációt triviálisnak neveznek, különben nem triviális.
Egy példa. Legyen egy V vektortér három vektorának rendszere
- ez a vektorrendszer triviális lineáris kombinációja;
Ez a vektorrendszer nem triviális lineáris kombinációja; a kombináció első együtthatója.
Definíció. Ha az V. vektortér x-vektorát a következő formában lehet ábrázolni:
akkor azt mondjuk, hogy az x vektor lineárisan expresszálódik a rendszer vektoraiban. Ebben az esetben azt is mondjuk, hogy a rendszer lineárisan vektor x-et képvisel.
Megjegyzés. Ebben és az előző definícióban a "lineárisan" kifejezést gyakran kihagyják, és azt mondják, hogy a rendszer vektort vagy vektort jelent a rendszer vektoraiban, és így tovább.
Egy példa. Legyen két oszlop egy rendszere a 2. magasságú oszlopok számtani valós vektortérfogatának. Ezután az oszlopot lineárisan a rendszer oszlopaiban fejezzük ki, vagy egy adott oszloprendszer lineárisan képviseli az x oszlopot. Tény, hogy