Problémamodellek problémáinak megoldása
Az érmék dobálásának valószínűségi elméletében felmerülő problémák megoldása megtalálható mind az USE-11 osztályban (B6 feladat), mind az OGE-9 osztályban (19. feladat).
Ezért ez a téma hasznos lehet olvasni és szétszerelni a kilencedik osztályosokat és a 10-11-es osztályosokat.
Itt például az 1. - B6. Feladat feladata a tesztek gyűjteményéből, szerk. Yashchenko I.V.
Véletlenszerű kísérletben négyszer szimmetrikus érmet dobunk le. Találd meg azt a valószínűséget, hogy a sas pontosan 2-szer csökken.
(kezdetben próbáld meg megoldani magad, a megoldás a szöveg végén fog megjelenni)
Az "érmék dobása" - olyan röviden, amit ezt a témát nevezünk, egyszerû és összetett lehet. Számos B6 probléma megoldható a valószínűségi képlet egy lépésben.
ahol P az ismeretlen valószínűség
n-összes tesztszám
m a kedvező kimenetelek száma.
Dobó érmék.
Ez a tesztnek csak két eredménye van: az érme "sas" vagy "lombhullató". Alapvető eseményeknek tekinthetők. Nehéz összetett események összeállítása, de az egyik lehet egy
1. lehetetlen esemény - dobás közben sem a "sas", sem a "farok" nem esett vissza (feltételezzük, hogy az érme a szélén áll)
2. és egy olyan esemény, amely biztosan megtörténik - a "sas" vagy a "farok" ki fognak bukni - ilyen esemény nevezik hitelesnek.
A gyakorlatban az ilyen problémák megoldhatók két módon.
- Fény, ahol ismételt tesztek egy kicsit - a nyers erő - vagyis előzetesen írja le az összes lehetséges eredményt, és válassza a kedvező.
- Bonyolultabb - ahol ismételt tesztek sokak - a Bernoulli-rendszer szerint.
A kis számú felvétel problémáinak megoldása
Vegyük fontolóra az elején az elemi feladatokat, amelyeket egy keresési módszerrel lehet megoldani.
Véletlen kísérletben egy szimmetrikus érme 2-szer csökken. Keressétek meg annak a valószínűségét, hogy a sasok és a sziták ugyanarra az összegre esnek.
Megoldás: Az érmét kétszer dobják. Minden lehetséges kombinációt írunk le, ahol az O-eagle betűvel, az F-farkkal jelöljük.
Összesen 4 eredmény. Meg fogjuk írni vagy jelezni azokat az eredményeket, amelyek megfelelnek nekünk, ezek a 2. és a 3. esetek (1 alkalommal a sas és az 1 -szeres farok). Kiderült, hogy kettő négyszer. Találjuk meg a valószínűséget
Amint láthatja, hogy a probléma nagyon könnyen megoldható, minden ilyen lenne az USE-ben. Nézzünk még egy problémát.
Az érmét négyszer dobják. Keresse meg annak a valószínűségét, hogy a farok egyszer sem esik ki.
Megoldás: Minden lehetséges eredményt kiírunk
Összesen 16 eredmény. A farok nem esik ki egyszer, ez a feltétel csak az OOOO egyik eredménye.
Találjuk meg a valószínűséget
A problémát egyszerű, manuálisan, azaz keresési módszerrel oldottuk meg. És most képzeljük el, hogy ha az érme dobott nem 4, hanem 10-szer. Az ismétlések számának növekedésével ez nehéz lesz. Ezért a probléma megoldásának módja csak néhány ismétlés esetén elfogadható.
Módszer, a problémák megoldásához, ha az érmét sokszor dobják egymás után
Mi történik, ha sokszor egymás után dobja el az érmét? Itt az ismételt tesztek úgynevezett rendszere segít nekünk. Ezt a rendszert Jacob Bernoulli (1654-1705) figyelemre méltó tudós javasolta és nevét viseli. Az ilyen helyzetek, amikor sokszor dobnak érméket, kockákat, vagy többször lőnek - nagyon gyakoriak. A "kockák" feladatait a következő leckében tárgyaljuk. Most pedig beszéljünk az "érmék dobása" problémájáról.
Minden tesztnél két hasonlóan valószínű kimenet van: az O-leesett a sas, az R- a farok esett. Tegyük fel, hogy az érmét n-szer dobták egymás után. Hány egymást követő eredményt kaphatok? Ha független feltételes teszteket hajtanak végre a feltételek megváltoztatása nélkül, akkor minden egyes tesztben az A esemény előfordulási valószínűsége megegyezik. Az ilyen teszteket Bernoulli-rendszernek nevezik.
Az a valószínűség, hogy az A esemény sorozata n próbákban pontosan m-szer fordul elő, megtalálható Bernoulli képletében:
ahol p az A esemény minden egyes kísérletben való előfordulási valószínűsége
q = 1-p az ellenkező esemény valószínűsége.
Az "érmék dobása" problémáinak megoldására speciális formulát kapunk.
Ezt a problémát általános formában oldjuk meg:
Mekkora valószínűség, hogy egy szimmetrikus érme n tekercsében a "sas" pontosan m-es csökkenést eredményez.
Megoldás: A probléma elemi eseménye az O és P szimbólumok egyikének hossza.
Az események száma 2 n. Egy rögzített esemény előfordulási valószínűsége p = (1/2) n. A sorok száma, amelyeknek pontosan m-szer, hogy a karakter O, C n értéke m - sok szempontból, akkor válassza ki a helyeket, ahol lesz egy szimbóluma A. Tehát annak a valószínűsége, hogy n érme dobás pontosan m szer „fej” lesz egyenlő
Igen, az ötletre, és kiderül, ha Bernoulli képleténél fogva megoldani. Mivel az érmék esetében a valószínűség p = 1/2 (vagy a farok vagy a sas), és az ellenkező esemény valószínűsége q = 1-1 / 2 = 1/2. A Bernoulli-formula helyettesítésével megkapjuk
Az "érmék dobása" megoldásának megkönnyítése érdekében ebben a formában emlékezni kell erre a képletre. Ez a speciális formula alkalmas az érmékkel kapcsolatos problémák megoldására.
Hagyja az érme cseppet n-szer. Ezután a képlet alapján a sas esésének m-es esélye valószínűsíthető
ahol C m az m elemek n elemeinek kombinációja.
Most felmerül a kérdés, hogyan számoljuk ki a kombinációk számát? A feladat állapotában fel kell tüntetni a próbák számát és a cseppek számát. Ezután a kombinációk számát a következőképpen számítjuk ki. Adjuk meg az n = 4 tesztet, az ismétlések számát (háromszor) m = 3, majd a képlet segítségével kiszámoljuk
A tényezők kiszámítása a következőképpen történik
1) Véletlenszerű kísérletben háromszor szimmetrikus érmet dobunk. Találd meg azt a valószínűséget, hogy a sas pontosan kétszer esett.
2). Véletlen kísérletben kétszer is szimmetrikus érme dob. Keressétek meg annak a valószínűségét, hogy a sas pontosan egy alkalommal csökken.
3). Kétszer dobjon szimmetrikus érmét. Találd meg azt a valószínűséget, hogy mindkét oldalon egy oldal lemerült.
4). Kétszer dobjon szimmetrikus érmét. Találd meg azt a valószínűséget, hogy mindkét esetben a farok esett.
5). Véletlen kísérletben háromszor szimmetrikus érme dob. Találd meg azt a valószínűséget, hogy a sas nem esik ki egyszer.
6). Véletlen kísérletben háromszor szimmetrikus érme dob. Keressétek meg annak a valószínűségét, hogy a sas pontosan egy alkalommal csökken.
7). Véletlen kísérletben háromszor szimmetrikus érme dob. Találd meg azt a valószínűséget, hogy a sas mindhárom alkalommal esik.