Szimmetrikus, aszimmetrikus, ortogonális és inverz mátrixok
Értékelés: 5/5
Irodalom: A matematika problémáinak összegyűjtése. 1. rész. Szerkesztette: AV Efimov, BP Demidovich.
Egy $ A $ négyzetmátrix szimmetrikusnak mondható, ha $ A ^ T = A. $ Egy $ B $ négyzetmátrix azt jelenti, hogy a $ B ^ T = -B. $
A négyzetes mátrix $ A $ nevű degenerált (speciális). ha determinánsa nulla, és egy nem-degenerált (nonsingular) egyébként. Ha a $ A $ - nem-szinguláris mátrix, akkor létezik egy egyedülálló mátrix $ A ^ $, oly módon, hogy $ AA ^ = A ^ A = E, $, ahol $ E- $ azonosító mátrix (azaz, oly módon, hogy a fő diagonális egység és az összes többi elem nulla). A mátrix $ A ^ $ az úgynevezett mátrix inverzével A. A $ $
Az inverz mátrix számítási módszerei:
A csatolt mátrix módszere. A $ A ^ * $ adjoint mátrix úgy van definiálva, hogy átmásolt egy mátrixra, amely az $ A mátrix megfelelő elemeinek algebrai kiegészítõibõl áll. Így,
$ A ^ * A = AA ^ * = \ det A \ cdot E. $
Ebből következik, hogy ha $ A- $ egy nem degenerált mátrix, akkor
A mellékmátrix módszerével keresse meg a következő mátrixok inverzét:
$ \ det A = \ begin12 \\ 34 \ end = 1 \ cdot 4-2 \ cdot 3 = 4-6 = -2 \ neq 0 $
Mivel a meghatározó nem nulla, ez a mátrix nem degenerált és az inverz mátrix létezik.
Megtaláljuk a $ A: $ mátrix megfelelő elemeinek algebrai kiegészítõit
Ezért megtaláljuk az adjoint mátrixot:
$ \ Det A = \ begin257 \\ 634 \\ 5-2-3 \ end = 2 \ cdot 3 \ cdot (-3) +6 \ cdot (-2) \ cdot 7 + 5 \ cdot 4 \ cdot 5- 5 $ $ = \ cdot3 \ cdot7-2 \ cdot (-2) \ cdot4-5 \ cdot 6 \ cdot (-3) = - 18-84 + 100-105 + 16 + 90 $ = $ = - 1 \ neq $ 0
Mivel a meghatározó nem nulla, ez a mátrix nem degenerált és az inverz mátrix létezik.
Megtaláljuk a $ A: $ mátrix megfelelő elemeinek algebrai kiegészítõit
A 3.106-ban találtunk $ \ begin12 \\ 34 \ end ^: $Az elemi transzformációk módszere. A mátrix alapváltozása a következő:
1) sorok átrendezése (oszlopok);
2) egy sor (oszlop) szorzása a nullától eltérő számmal;
3) a sor (oszlop) elemeinek hozzáadásával egy másik sor (oszlop) megfelelő elemei, korábban egy adott számmal megszorozva.
Egy adott mátrix $ A $ $ N- $ edrendű építésére derékszögű mátrix $ \ Gamma_A = (A | E) $ mérete $ n \ alkalommal 2n $, tulajdonít a jobb $ A $ azonosító mátrix. Továbbá, az elemi transzformációk fölött sorban, így a mátrix $ \ Gamma_A $ a forma $ (E | B) $ ez mindig lehetséges, ha $ A $ jelentése nem degenerált. Ezután $ B = A ^. $
3.115. Az elemi transzformációk módszerével megtalálja a következő mátrix inverzét:
A $ \ Gamma_A: $ mátrixot alkotjuk
Jelölő $ \ gamma_1 \ gamma_2 \ gamma_3 $ sorok $ \ Gamma_A, $ végre rajtuk a következő átalakításokat: $ \ gamma_1 '= \ gamma_1, $ $ \ gamma_2' = \ gamma_2-2 \ gamma_1, $ $ \ gamma_3 „= \ gamma_3-2 \ gamma_1 $
$ \ Gamma_1 '= \ gamma_1 ' $ $ \ gamma_2' = \ gamma_2'-2 \ gamma_3 ', $ $ \ gamma_3' = \ gamma_3'-2 \ gamma_2' $
$ \ Gamma_1 '' '= \ gamma_1' '- \ frac \ gamma_2' '- \ frac \ gamma_3' '$ $ \ gamma_2' ''= \ frac \ gamma_2 '', $ $ \ gamma_3 ''' = \ frac \ gamma_3 '' $
$ \ Left $ \ left \ \ begin \ end \ right \ right \ left \ \ begin \ end \ right \ \ 0-3-6 \\ 0-6-3 \ end \ left \ \ begin100 \\ - 210 \\ - 201 \ end \ jobb. \ Jobb) \ sim $
Egy ortogonális mátrix egy mátrix, amelyre $ A ^ = A ^ T. $
3.105. Igazoljuk, hogy minden mátrix $ A $ ábrázolható, és így az egyetlen módja annak, hogy alkotnak $ A = B + C, $, ahol $ B- $ szimmetrikus és antiszimmetrikus $ C- $ mátrix.
A mellékmátrix módszerével keresse meg a következő mátrixok inverzét: