Vektorok, műveletek vektorokon
Kezdőlap | Rólunk | visszacsatolás
Egy adott vektormennyiség absztrakt képére vektorokat használnak. A vektor (geometriai) egy irányított vonalszakasz. Két vektort egyenlőnek nevezünk, ha azok egyirányúak és azonos hosszúságúak. Az ilyen vektorok kiindulópontjának helyzete nem játszik szerepet. Ezért a geometriai vektorok szabadnak mondhatók.
A "Vector Algebra" téma tanulmányozása során a hallgatónak figyelnie kell az alábbiakban tárgyalt kérdésekre.
1. Lineáris műveletek a vektorokon (kiegészítés, kivonás, szám szerinti szorzás).
A vektoroknak képesnek kell lenniük arra, hogy mind a háromszög szabályait, mind a paralelogramm szabályát hozzáadjuk.
2. Vektorok lineáris kombinációja. Lineáris függőség és vektorok függetlensége. Alapvektorok. Descartes alapú.
1.2.1. Példa. Adja meg, hogy milyen értékek # 945; és # 946; egyenlőségre van lehetőség
(a 0 = a / | a |, b 0 = b / | b |). A fenti probléma megoldásához szükséges
Tekintsük az a és b vektorok lehetséges elrendezését:
Ábra.1.2.1 ábra.1.2.2 ábra.1.2.3
a) az a és b vektorok irányulnak (1.2.1 ábra), majd # 945; = - # 946; ;
b) az a és b vektorok ellentétes irányúak (1.2.2. Ebben az esetben # 945; = # 946; ;
c) az a és b vektorok szöget alkotnak # 966; Ebben az esetben a szög # 966; különbözik a 0 és a π radianktól (1.2.3 ábra). Az állapotban adott egyenlőség csak akkor lehetséges # 945; = # 946; = 0.
A vizsgált példa ötletet ad a vektorok lineáris függőségéről és függetlenségéről (a "Vector algebra" téma legfontosabb tartalma).
Az xi (i = 1, n) vektorok lineáris kombinációja az e vektorok termékeinek összege valós számokkal (i = 1, n), nevezetesen
A vizsgált példában 2 x egyén lineáris kombinációja
A vektorok x i (i = l, n) nevezzük lineárisan függ, ha a Do-lineáris kombinációja (1.2.1) nulla, és azok között a ai együtthatók (i = l, n) legalább egy nem nulla. Az 1. ábrán. 1. 2 .1-1. A 2. ábrán két lineárisan függő vektor látható. Egyenes vonal mentén, vagy párhuzamos egyenes vonalakon lehet elhelyezni.
Két vagy két párhuzamos vonalon elhelyezkedő vektorokat kollineárisnak neveznek.
A vektorok kollinearitási feltételei a = # 955; ahol # 955;ÎR. Ha három vektor található egy vagy párhuzamosan
repülőgépek, koplanáris síkoknak nevezik őket.
A koplanáris vektorok lineárisan függenek. A szükséges és elégséges feltétel a vektorösszetevés:
A vektorok xi (i = l, n) nevezzük lineárisan független, ha az egyenlőség RA-nulla lineáris kombinációja (1.2.1) csak akkor lehetséges, abban az esetben, ha az együtthatók az ai (i = l, n) értéke 0 egyszerre.
A két lineárisan független vektor esetében az ábrát
Ábra. 1.2.3. (Lineáris kombináció # 945; a + # 946; b egyenlő nullával, ha egyidejűleg nullává alakul # 945; és # 946; ).
1.2.2. Példa. Az a, b, c vektorok nem koplanárisak (lineárisan függetlenek). Igazoljuk, hogy a vektorok m = a + 2b-c, n = Per-b + p és c = a + 5b-Sc koplanáris, és megtalálja a lineáris összefüggés.
Az m, n, p (qe45, m +) vektorok lineáris kombinációját nullázzuk # 946; n + # 947; k = 0), és helyettesíti az a, b, c vektorokat az m, n, p.
Az a, b, és c vektorok lineáris kombinációja csak akkor lehetséges, ha a lineáris kombináció koefficiensei nulla. Ebből a feltételből olyan lineáris algebrai egyenletrendszert kapunk, amelyet a Gauss-módszerrel megoldunk (1.1.11. Példa).
Az m, n, p vektorok lineáris kombinációjának nullával egyenlő koefficiensek nullától eltérőek lehetnek, ezért az m, n, p vektorok lineárisan függenek (koplanáris). Behelyettesítve # 945,; # 946;, # 947; egyenlőségben # 945; m + # 946; n + # 947; p = 0 és rövidítve C-vel, akkor kapunk -2m + n + k = 0.
A vektorok lineáris függetlenségének fogalmával ez az alapvető koncepció szorosan kapcsolódik alapjául.
A Q sík alapja bármely rendezett pár nem hengeres vektor, amely párhuzamos a Q síkkal. Bármely c,
párhuzamosan a Q síkkal párhuzamosan a c = formában ábrázolható # 945; a + # 946;
A háromdimenziós tér alapja bármely rendezett háromszoros nem-poláris (lineárisan független) vektor. Ha a, b, c az alap térbeli alapja, akkor a tér bármelyik d vektora egyedileg bontódik ebbe az alapra az alábbi képlet segítségével:
Derékszögű sík alapon (PMC 1.2.4) a két egységes, egymásra merőleges vektorok i és j (| i | = | j | = 1, i ^ j), egybeesik a pozitív irányba az OX és OY tengelyek korom, ill.
Egy sík bármely vektora egyedileg ábrázolható az a = ax i + ay j formában, ahol a tengely és ay számokat az a vektor koordinátáinak nevezik.
A térbeli diszisztézis alapja (1.2.5. Ábra) A három
egy, egymáshoz képest merőleges, i, j, k vektorok, amelyek egybeesnek az OX, OY és OZ tengelyek pozitív irányával. bármilyen
az a vektor egyedülállóan megjelenhet a formában