A Riccati-egyenlet
Az általános Riccati-egyenlet
A Riccati egyenlet az egyik legérdekesebb elsőrendű nemlineáris differenciálegyenlet. A \ left (x \ jobb) + c \ bal (x \ jobb), \] ahol \ (a \ left (x \ jobb) ) \ (\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
A Riccati-egyenlet a matematika különböző területein (például algebrai geometriában és a konformális leképezések elméletében) és a fizikában fordul elő. Gyakran megjelenik az alkalmazott matematikai problémákban is.
A fenti egyenletet általános Riccati-egyenletnek nevezzük. A megoldása a következő tételen alapul:
Tétel. Ha az ismert részleges megoldást \ (\) Riccati-féle egyenlet, akkor annak az általános megoldás a következő képlet adja \ [y = + u \.] Valóban, helyettesítjük oldatot \ (y = + u \) egy Riccati-féle egyenlet, van: \ [+ u> \ (jobbra jobbra) + b \ balra (x \ jobbra) + u> \ jobbra) ^ 2> + c \ balra (x \ jobb),> \] \ [^ > + u „> => + a \ bal (x \ right) u + \ underline + 2b \ bal (x \ right) u + b \ left (x \ right) + \ underline.> \] a aláhúzott kifejezéseket a bal és a jobb oldali lehet rövidíteni, mivel \ (\) egy olyan megoldás, amely kielégíti az egyenletet. Ennek eredményeként, megkapjuk a differenciálegyenlet a függvény \ (u \ left (x \ jobbra): \) \ [u „= b \ bal (x \ right) + \ left [+ a \ bal (x \ right)> \ right ] u, \] ami a Bernoulli-egyenlet. A helyettesítés \ (z = \ large \ frac \ normalsize \) az adott Bernoulli egyenletet lineáris differenciálegyenletvé alakítja. lehetővé téve az integrációt.
Emellett az általános Riccati-féle egyenlet, sok speciális esetekben Riccati-féle egyenlet együtthatóit \ (a \ left (x \ right) \) \ (b \ left (x \ right) \) \ (c \ left (x \ right) \ ) egy bizonyos típusú. Sok ilyen esetben integrálható megoldások vannak.
Visszatérve az általános Riccati-egyenlethez, látjuk, hogy az általános megoldás akkor állítható elő, ha bármelyik megoldás ismert. Sajnos, nincs szigorú algoritmus megtalálása egy adott megoldás, amely alapvetően attól függ, milyen típusú függvény \ (a \ left (x \ right) \) \ (b \ left (x \ right) \) és \ (c \ left ( x \ jobb). \)
Az alábbiakban a Riccati-egyenlet egyes ismert eseteit tekintjük.
A speciális eset \ (1: \) Az együtthatók \ (a, b, c \) konstansok.
Ha a Riccati egyenletben az együtthatók állandóak, akkor egy ilyen egyenlet elválasztható változókkal egyenletre redukálható. Ebben az esetben az általános megoldás által leírt racionális beépített függvény egy kvadratikus trinomiális a nevezőben: \ [+ c,> \; \; >> = ay + b + c,> \; \;> + c >>> = \ int. > \] Ez az összetevő könnyen kiszámítható a \ (a, \) \ (b \) és \ (c \) értékekért (további részletekért lásd a "Racionális funkciók integrálása" lapot).
Egy speciális eset \ (2: \) Az \ (y '= b + c \) űrlap egyenlete
Tekintsük a Riccati-féle egyenlet formájában \ (Y „= b + c, \), ha a funkció \ (a \ bal (x \ right) \) A lineáris kifejezés nulla, az együttható \ (b \), ha a \ (\) egy konstans, és \ (c \ bal (x \ right) \) az exponenciális függvény: \ [a \ bal (x \ right) \ ekvivalens 0, \; \; b \ left (x \ right) = b, \; \; c \ left (x \ right) = c. \] A Riccati egyenletnek ebben a példájában meglepő megoldások vannak!
Először is, vegye figyelembe, hogy ha \ (n = 0, 1), akkor újra megérkezünk az esethez \ (1 \). amelyben a változók elválnak és az egyenlet integrálható.
Ha a \ (n = -2, \) preobrazutsya Riccati-féle egyenlet a homogén egyenlet helyettesítve \ (y = \ nagy \ frac \ normalsize \) és azt is lehetővé teszi, hogy további integrációja.
Ez differenciálegyenlet is megoldható \ [n = \ frac >>, \; \; \ szöveg \; \; k = \ pm 1, \ pm 2, \ pm 3, \ ldots \] Itt, általános megoldást keresztül fejeződik hengeres funkciót.
A \ (n \) erő összes többi értéke esetében a Riccati egyenlet megoldása az elemi függvények integrálódásaiban fejezhető ki. Ezt a tényt a francia matematikus Joseph Liouville \ (\ left (\ right) \) in \ (1841 \) hozta létre.
A Riccati-egyenlet számos más speciális esetét bemutatják az EqWorld weboldalán.