Teljesen konvergens sorozat és tulajdonságaik
Adja meg a váltakozó sorozatot. Tekintsünk egy sorot, amely abszolút értékeiből áll: a1 | + | a2 | + ... + | an | + ... Nyilvánvaló, hogy ez egy pozitív kifejezéssor.
A sorozat azt mondják, hogy teljesen konvergens. ha a kifejezésekből álló sorozat konvergál.
Tétel. Minden teljesen konvergens sorozat konvergál. Az ilyen sorozat összege megegyezik a plusz-sorozat összegének és a negatív sorozat összegének különbségével.
Tegyük fel, hogy az a1 + a2 + ... + an + a sorozat abszolút konvergál, konvergál a következő sorokhoz: | a1 | + | a2 | + ... + | an | + ... A Tn terminus egy részének részösszegét jelöljük. Van Tn = Tn + + Tn - (ahol Tn + - néhány részösszegként valamint számos, Tn - - részösszegként mínusz sorozat.) Tekintettel skhodimoti sorozat | a1 | + | a2 | + ... | egy | + ... részleges a Tn összegeket egy bizonyos szám C határolja. Ebből következik, hogy Tn1 + £ C és Tn2 - £ C, részleges összegeket mínusz és plusz sorozat korlátos fenti C. kritériumai szerint azokat a konvergencia a sorozat pozitív értelemben, ez azt jelenti, a konvergencia a plusz és mínusz a sorok, azaz, léteznek határértékek T + = lim T + k és T - = lim T - l. Ha most
az egyenlõségrõl a n ® μ határára lépünk, akkor kapunk limTn = T + -T -. QED
Feltételesen konvergens sorozat.
Az a1 + a2 + ... + an + a sorozat feltételesen konvergens. ha konvergál, és a természeteiből álló sorozatok eltérnek egymástól.
(Riemann tétele. Ha a sorozat feltételesen konvergál, feltételeinek átrendeződése eredményeként egy sorozatot kaphat, amelynek összege, valamint egy divergens sor.)
Sorozat komplex kifejezésekkel. (Goncharenko szavaiból)
A komplex számot a + b * i, ahol a a szám tényleges része, i pedig a képzeletbeli egység (megmagyarázom: a képzeletbeli egység olyan egység, amelynek a négyszöge "-1").
Ha a komplex számok valós (Snn) és képzeletbeli (Sbn i) részei összevetnek, akkor a komplex számok teljes sorozata konvergál. (a többi meghatározás hasonló.)
7. Rendszeresen konvergens sorozatok tulajdonságai: a sorozat összegének folytonossága, termisztikus differenciálás és integráció. (feltételezzük, hogy a folyosó egyenletesen konvergál).
Az S (x), xÎW a sorozat összege, ha S (x) = lim n → ∞ S (x). ahol S (x) = f1 (x) + f2 (x) + ... + fn (x)
Ha S (x). x ÎL (LÍ# 8486;) az összege több f1 (x) + f2 (x) + ... + fn (x) + ... = n = 1 Σ ∞ fn (x) (a funkció számát), akkor azt mondjuk, hogy ryadskhoditsya a sor L S függvény (x).
Egy funkcionális sorozat azt mondja, hogy egyenletesen konvergál az L-készleten az S (x) függvényre. ha bármelyik e> 0 számnál létezik egy N index, úgyhogy n N N esetén minden x esetébenÎL, a következő egyenlőtlenség tartja: 1S (x) -Sn (x) 1 Ha a funkcionális sorozat konvergál az L. készleten, akkor ezen a beállításon a konvergencia nem egységes, de bizonyos részhalmazokon L beállítás, a konvergencia egyenletes lehet. Az egységes Weierstrass konvergencia tesztje. Ha a szám a funkcionális tag f1 (x) + f2 (x) + ... + fn (x) + ... kielégíti az egyenlőtlenséget a beállított L ½ fn (x) ½≤Sn (n = 1,2, ...). ahol Cn a C1 + C2 + ... + Cn + ... konvergens numerikus sorok feltételei, akkor a funkcionális sorozat egyenletesen konvergál a L-készleten. Ha az fn (x) függvények folyamatosak [a, b] esetén, azokból álló f1 (x) + f2 (x) + ... + fn (x) + ... sorozatok 1. Az [a, b] funkciója f (x) folyamatos Ha fn (x) van egy folyamatos származéka az [a, b] és ezen az intervallumon Def. Az a0 + a1x + a2x2 + ... + akxk + formanyomtatvány kifejezése. (*) ahol a0, a1, a2, ... - egyes numerikus sorozatokat hatalmi sorozatnak neveznek. a0, a1, a2, ... a teljesítménysorozat együtthatói. Ha x numerikus értékeket kap, akkor megkapjuk a számot. Sorok, amelyek konvergálhatnak és eltérhetnek egymástól. Az X sorozatot, amelyhez a (*) sorozatot konvergálják, a konvergencia tartományának nevezzük. 1) Ha a sorozat (*) egy ponton konvergál x0 ≠ 0-ra, akkor ez a sorozat konvergál minden olyan x-hez, amely megfelel a feltételnek: | x |<|х0|. 2) Ha a sorozat (*) eltér˝o т Х1 ≠ 0-ban, akkor ez a sorozat minden x: | x |> | x1 | Doc. 1). Szerint cond hatványsorok a0 + a1h0 a2h0 + 2 + ... + ak + x0 ... (**) konvergál, így aa X0 → 0 k → ∞. Ezért a konvergens szekvencia x0 k> -ra korlátozott, i. Egy állandó M olyan, hogy | ak x0 k | Tegyük fel, hogy | x |<|х0|, тогда |ак х к |=|ак х0 к ||х/х0|<М|х/х0| к. причем |х/х0|<1. Поэтому члены ряда (***) не превосходят соответствующих членов сходящегося ряда M + M | x / x0 | + M | x / x0 | 2 + ... + M | x / x0 | k + ... a végtelenül csökkenő geometriai progresszió összegei. Ezért a sorozat (***) konvergál, és a sorozat (**) teljesen konvergál. 2) Tegyük fel, hogy a sorozat (**) x = x1, de néhány x: | x \> x1 A tétel első részében a sorozat (**) teljesen konvergál x = x1-hez, ezért ellentmondást kaptunk.Kapcsolódó cikkek