Meghatározása a valós számok halmaza a
Vannak különféle építési elmélet valós számok:
- aksimaticheskoe által szakaszok a racionális számok,
- alapján a végtelen tizedes.
Tekintsük axiomatikus építési módszer, ahol a valós számok halmaza határozza meg általánosságban elemek sokaságát néhány műveletek és kapcsolatok: ingatlanok műveletek és kapcsolatok beállítása axiómák, törött négy csoportba osztottak. Az első csoportba tartoznak az adagolás axiómából másodlagosan - megszorozzuk axiómák, a harmadik - sorrendben axiómák a negyedik - az axiómának a felső felületének.
Definíció: A készlet elemek \ (. X, Y, Z \) nevezzük egy sor \ (
\) Tényleges (vagy valós) számokat. ha a következő műveletek végrehajtásával vannak beállítva az 1-4 ezeket az elemeket.
1. összeadási művelet: bármely elemek \ (x, y \ in R \) van hozzárendelve egy elem \ (s \ R, \) nevű az összegük, és jelöljük \ (x + y \), úgy, hogy a következő feltételek teljesülnek :
1.1. Bármely \ (x, y \ in R \) megvalósítható $$ x + y = y + x $$ - kommutatív összeadás műveletet.
1.2. Bármely \ (x, y, z \ R \) $$ (x + y) + z = x + (y + z) $$ - asszociatív mellett.
Axióma 1.2 lehetővé teszi írásban zárójelek nélkül összege számlálási \ (x + y + z = (x + y) + z = x + (y + z). \) Miatt axiómának 1,1 közömbös is, hogy a sorrendben a rögzítési elemek.
1.3. Van egy elem \ (\ nu \ R \) úgy, hogy minden \ (x \ in R \) $$ x + \ nu = x. $$ elem \ (\ nu \) az úgynevezett nulla.
1.4. Bármely elem \ (x \ in R \) van egy elem \ (g \) úgy, hogy $$ x + g = \ nu. $$ elem \ (g \) nevű átellenes \ (x \).
Elements \ (x \) és \ (y \) összegű \ (x + y \) nevezzük szempontjából.
2. Szorzás: bármely elemek \ (x, y \ in R \) elhelyezett levelezés az elem \ (p \ R \), és azok nevű terméket jelöljük \ (x \ cdot y \) (vagy \ (xy \)), hogy ugyanabban az időben az alábbi feltételekkel:
2.1. Bármely \ (x, y \ in R \) $$ x y = y x $$ - szorzás kommutatív.
2.2. Bármely \ (x, y, z \ R \) $$ (x y) z = x (y z) $$ - asszociatív szorzás művelet.
Axióma 2.2 azt javasolja, hogy az expressziós \ (x y z \) van egy egyértelmű jelentése.
2.3. Van egy elem \ (e \ R \) úgy, hogy minden \ (x \ in R \) $$ x \ cdot e = x. $$ elem \ (e \) nevezzük a készüléket.
2.4. Bármely elem \ (x \), kivéve a \ (\ nu \), a \ (r \) van egy elem \ (r \ R \) úgy, hogy $$ xr = e. $$ elem \ (r \) ez az úgynevezett inverz eleme \ (x \).
2.5. Bármely \ (x, y, z \ R \) egyenlőség $$ x (y + z) = x y + XZ $$ (disztributivitás szorzás felett összeadási művelet).
Elements \ (x \) és \ (y \) a terméket \ (xy \) nevezzük szorzók.
3. Az arány a sorrendben: minden elem \ (x, y \ in R \) a következő összefüggések: vagy a \ (x \ leq y \) (\ (x \) kisebb vagy egyenlő, mint \ (y \)), vagy a \ (y \ leq x \), vagy mindkét alábbi tulajdonságok:
3.1. \ (X \ leq x \) minden \ (x \); A \ (
y \ leq x \) kell $$ x = y $$.
3.3. Tól \ (x \ leq y \) minden \ (z \ R \) kell \ (x + z \ Leq y + z \).
Az arány \ (x \ leq y \) van rögzítve, mint a \ (y \ GEQ x \) (\ (y \) nagyobb vagy egyenlő, mint \ (x \)). Az arány \ (x \ leq y \), ha a \ (x \ NEQ y \) van írva, mint \ (
\) (\ (X \) kisebb, mint \ (y \)) vagy a \ (y> x \) (\ (y \) nagyobb \ (x \)).
4. A felső határa a készlet. Set \ (M \ részhalmaza R \) nevű korlátos fenti, ha van egy elem \ (
\) Minden egyes \ (x \ M \); ez a kapcsolat van írva, mint a \ (M \ leq \ eta \). Minden elem \ (\ eta \), amelynek tekintetében több fenti ingatlan, az úgynevezett felső oldala a beállított \ (M \). Supremum \ (\ overline \) nevezzük a legkisebb felső korlát a beállított \ (M \), ha bármilyen más szuprémum \ (\ eta \) set \ (M \) nagyobb vagy egyenlő, mint \ (\ overline \). A legalább a felső korlát a beállított \ (M \) jelöli \ (
M \) (a latin \ (supremum \) - a legmagasabb).
4.1. A axióma felső felületének. Mindegyik korlátos set top \ (M \ részhalmaza R \) van egy legalább a felső korlát.
PONTJAIBAN magasabb matematika