diffúziós egyenlet fizika

A diffúzió a folyamatot, amelynek célja egy egyensúlyi koncentrációja belüli eloszlását fázisok.

Az eredmény a diffúziós állandó hőmérsékleten van, hogy kiegyenlítse a kémiai potenciálokat. Az egyfázisú rendszer állandó hőmérsékleten, és a külső erő hiányában diffúziós fázisú komponens koncentrációszintek az egész rendszerben. Ha a rendszer ki van téve a külső erők és hőmérsékleti gradiens tartjuk, ennek eredményeként diffúzió színátmenetek létrehozott koncentrációk az egyes komponensek (termikus diffúzió, electrodiffusion, és egyéb folyamatok).

A diffúziós egyenlet egy dimenzióban

diffúziós egyenlet egy dimenzióban () a kétkomponensű rendszer - ez az első Fick törvény:

ahol dm - súlya az első komponens, amely hajtjuk keresztül egy időben dt felületi elem dS x merőleges irányban a figyelembe vett terület irányába sűrűségének csökkentésével az első komponens, - egy sűrűség gradiens, D - diffúziós együttható.

Ha egy egykomponensű rendszer megkülönböztetni egy csoport molekulák, a nyomvonal a kiválasztott részecskék koncentrációja térfogat az edény nevezik öndiffúzió. Öndiffúzió is leírta a diffúziós egyenlet (Fick első törvénye), ahol együttható D- úgynevezett self-diffúziós együtthatója.

A diffúziós egyenlet három dimenzióban

Abban az esetben, háromdimenziós diffúziós koncentráció időbeli változását állandó hőmérsékleten, és a külső erő hiányában által leírt differenciális egyenlettel diffúziós:

ahol D- diffúziós koefficiens, t- időt. Ha D jelentése itt nem függ a koncentrációtól, a diffúziós egyenlet a formája:

Egyenlet (3) az úgynevezett második törvénye Fick, ahol - a differenciál Laplace operátor.

Abban az esetben, ha anyagátadás okozta gradiens koncentráció diffúziós egyenlet felírható a következő formában:

ahol c (x, t) - a az anyag koncentrációja azon a ponton, a közeg a t időpontban, D - diffúziós együttható, q - abszorpciós tényezője, egy F - intenzitás anyag forrásból. D értékei, q és F jellemzően koordináták és az idő, valamint attól is függhet, a C koncentrációt (x, t). B Ez utóbbi esetben, a diffúziós egyenlet (4) válik nemlineáris. Az anizotrop közegben, D a diffúziós koefficiens tenzor területen. Abban az esetben, ha a D értékét és q állandó, egyenlet (4) egy parabolikus egyenlet. Az ilyen típusú egyenletek matematikai fizika módszert dolgoztak ki megoldásokat. A feltételezés az állandóság a diffúziós együttható igaz a legtöbb esetben, a gyakorlatban megvalósított. diffúzió egyenletek nem tartalmaznak semmilyen információt a mechanizmusok ezt a folyamatot. A fő célja a megoldása az egyenlet - keresni szennyező elosztó c (x, t) diffúzió után a megadott időben különböző körülmények az eljárás.

A megoldás a diffúziós egyenlet

Ahhoz, hogy egy egyedülálló megoldás, hogy a (4) egyenlet szükséges beállítani a kezdeti és peremfeltételek. Jellemzően, úgy a következő peremfeltételeket:

1) a határoló felület S támogatja egy adott elosztó anyag

2) a határoló felület S támogatja egy adott permeátum fluxus sűrűsége belépő V a határ túloldalán S:

ahol n - az aktív felületre merőleges S

3) s- féligáteresztő, és diffúziója a külső közeg egy előre meghatározott koncentrációra keresztül a felszínre S történik lineárisan:

A legegyszerűbb esetben, amikor a diffúzió csak egy egyenes mentén, és c = c (x, t) a (3) egyenletben felírható:

a kezdeti állapot:

Ezután az egyenlet (5) van egy megoldás:

- aktuális koordináta integráció.

Expression (6) egy alapvető megoldás a diffúziós egyenlet esetében (5).

Példák problémák megoldása

Find gáz tömege (moláris sűrűsége tompított diffúzióval párnán keresztül az idő, ha a sűrűség gradiens a merőleges irányban a site. A gáz hőmérséklete a T, az átlagos szabad úthossza molekulák.

Írunk az első Fick törvény szempontjából a feltételeket, a probléma:

A mínusz jel jelzi az irányt a vektor sűrűsége. Vegye ki a modult a jobb oldalán (1.1):

Ismerve, hogy amennyiben - a közepes szabad úthossza a molekula - az átlagos sebesség a gázmolekulák, és ez egyenlő :.

Ennek megfelelően a transzformáció (1.2), megkapjuk a kívánt mennyiségű gáz: