A darabos sima görbe térfogata
Adjon egy sima vagy darabos sima felületet π. Ezen a felületen egy bizonyos oldalt választunk, azaz irányítsa a felületet. A definitás érdekében tegyük fel, hogy π (x, y) egyenlet, ahol φ (x, y) egy folytonos függvény D-ben, ahol D az Oxy vetületének φ (x, y) vetülete. Ha a felületi π felső oldalát választjuk, akkor a π felszíni pontokon a normál szögek éles szögeket alkotnak az Oz tengellyel (a határvonal π pontjaiban a szögek lehetnek egyenesek). Ha a π felület alsó oldalát választjuk, akkor az oz tengelyek normális szögei tompaak lesznek (a felület határainál a szögek lehetnek egyenesek). Legyen π tetszőleges elem a π felületen π, π2, ..., πn felületen. A kapott partíciót τ-vel jelöljük. A π felületi τ felosztása a π1, π2, ..., πn részekbe hozza létre a D tartomány megfelelő részét a D1, ..., Dn részekbe. hol. Legyen, ahol dk az πk rész átmérője. λ a partíció τ rangja. Minden egyes πk esetében tetszőleges Mk pontot választunk. Ezután k> az τ köztes pontjai.
Legyen ΔSk legyen a Dk terület. és
Tegyük össze az összeget (1). Az ilyen összegeket az R (x, y, z) függvény integrált összegeként adjuk meg, adott felülettel π.
Def. Az I számot az integrált összegek (1) véges korlátjaként λ → 0-nak nevezzük, ha bármelyik ε> 0 esetében létezik δ> 0, úgy, hogy a π felületnek bármelyik τ partíciójára a λ<δ и любом выборе промежуточных точек на этих частях будет выполниться |σ-I|<ε. При этом пишут .
Def. Ha létezik az integrált összegek (1) véges határa, akkor a felület kiválasztott felülete felett van az x és y koordinátákhoz vagy a második típusú felületintegrálhoz képest, és jelöltük.
A második típusú felszíni integrálok a z, az x, y és z koordinátákhoz hasonlóan hasonlóan vannak meghatározva:
A három rögzített integrál összegét a második típusú általános felületi integrálnak nevezzük.
36. A második fajta felületi integrálok kiszámítása.
A második típusú integrálok kiszámítása a kettős integrál kiszámítására a következőképpen történik.
ebben a formában σ a kettős integrál ± R (x, y, φ (x, y)) integrális összege, ezért a képlet
Hasonlóképpen a képletek származnak:
37. Az 1. és a 2. típusú felületi integrálok közötti kapcsolat.
Legyen P (x, y, z), Q (x, y, z) és R (x, y, z) a π-ban. Legyen ,,, legyen az egység normális koszinusa az π oldalon.
Majd képletek
A mennyiséget a vektor fluxusának nevezzük a kiválasztott π felületen keresztül.
N az a folyadékmennyiség, amely átfolyik a π-n keresztül a vektor irányában egy egységnyi időre, ha az ideális folyadék sebessége az M. pontban.
A fenti képletek bizonyítása a következő tétel általánosításán alapul. Ha π1 és π2 két sík, akkor a φ¹π / 2 és Ф1 és Ф2 szögek a geometriai ábrák a π1 és π2 síkok között.
38. Ostrogradskii tétele a második típusú felületi integrálnak a megfelelő hármas integrálissal való összekapcsolására.
Legyen T egy zárt térdomén, amelyet egy sima vagy darabos sima felület π határol. Az első sorrend részleges származékaival a P (x, y, z), Q (x, y, z) és az R (x, y, z)
Az (1) jobb oldalán lévő integrált (1) a felszín külső oldalára kerül. (1) az Ostrogradsky formula.
(2) a mennyiséget a vektor divergenciájának nevezzük, és jelöljük.
A divergencia és az áramlás (1) fogalmának felhasználásával írhatunk (1 ')
39. Stoke tétele a görbe vonalú integrálnak a koordinátákra és a második típusú megfelelő felületi integráljára gyakorolt kapcsolatáról. Vektoros mező rotora és keringése, a Stokes tétel vektoros formában.
π - sima vagy szakaszonként sima nem lezárt a geometriai értelemben orientált által határolt felület sima vagy szakaszonként sima kontúr G. Legyen rc meghatározott F függvény, Q és R, együtt a folytonos elsőrendű parciális deriváltjai, majd a következő képlet, ahol az integráció a választott oldal π és a pozitív Γ irányában.
Megjegyzés. Ha a felületi π az Oxy sík területe, akkor dzdx = 0 és dydz = 0, és a Stokes formula átkerül a zöld képletbe.
A vektort egy vektor rotorának (vagy örvényének) nevezik és jelölik. Minden ponton jellemzi a mező forgási képességét.
Megjegyzés. A Stokes képlet vektoros formában a következő formában van :, ahol.
Def. a vektor mező forgalmának nevezzük. A mező forgási kapacitását a D. kontúr mentén jellemzi.