Módszer Gauss számítási határozott integrálok
Quadrature képletű interpolációs típusú
Úgy véljük, a közelítő képlet integrálok
ahol az előre meghatározott integrálható függvény (ún tömeg funkció), és elegendően sima függvény. Tekintik a képleteknek az az űrlapot
ahol a számok.
Eltérően az előző fejezetben nem törik a szegmenst a részleges szegmensek, és szerezzen kvadratúra képletek helyett a interpolációs polinom azonnal teljes szegmens. Az így kapott általános képletű nevezzük kvadratúra képletek interpolációs típusú. Jellemzően, az ilyen formulák pontossága növekszik a száma interpolációs csomópontok. Vizsgálat a Sec. 3.1 Formula téglalap, trapéz és Simpson speciális esetei a merőleges képletek interpolációs típusú mikor. .
Megkapjuk a kifejezés a együtthatókat kvadratúra képletek interpolációs típusú. Intervallumon definiált interpoláció csomópontokat. . Feltételezzük, hogy nincs átfedés, különben lehet, hogy ezek közül a csomópontok találhatók önkényesen.
Funkció lecseréli a Lagrange interpolációs polinom (lásd. 2. előadás, a képlet (2.4))
kifejezést gyakran írják más formában. Bemutatjuk a polinom foka
és kiszámítja annak származékai:
Akkor azt találjuk, hogy
Cseréje az integrál (3,25) a Lagrange interpolációs polinom függvény
Egy közelítő képlettel (3,26) (bizonyítani otthon. Ass. №4), ahol a
Így, a képlet (3-26) egy olyan típusú kvadratúra interpolációs képlet, ha, és csak akkor, ha annak együtthatókat szerint számítjuk (3,28).
Gauss számításának módját határozott integrálok
Az előző részben azt feltételezték, hogy a merőleges komponensei megadott képletek előre. Meg lehet mutatni, hogy ha a használata interpolációs pontokat, megkapjuk kvadratúra képletek, ennek pontos mértékét az algebrai polinomok. Úgy tűnik, hogy kiválasztja a csomópontok kaphat a merőleges formulák, amelyek pontosnak polinomokként magasabb. Tekintsük a következő problémát: építeni egy kvadratúra képletű
amely, ha adott lenne pontosan a polinomok a lehető legnagyobb mértékben. Itt az egyszerűség kedvéért csomópontok számozási kezdődik.
Az ilyen kvadratúra képletek léteznek. Ezek az úgynevezett Gauss. Ezek a képletek pontos bármilyen algebrai polinomfok.
Ezért elvárjuk, hogy a merőleges képlet (3,29) pontos bármilyen algebrai polinom foka. Ez egyenértékű az a követelmény, hogy a képlet pontos a funkciókat. . Így megkapjuk a feltételeket
amelyek az nemlineáris egyenletrendszert az ismeretlen
A számú egyenlet megegyezik az ismeretlenek száma, szükség van a kereslet.
Ha figyelembe vesszük kvadratúra képletek (3,29) a teljes fajok bevezetésére polinom
Azt feltételezzük, hogy.
1. Tétel kvadratúra képlet (3,29) egzakt bármely polinom mértékben akkor és csak akkor, ha két feltétel teljesül:
1. ortogonális polinom súlyú bármely polinom foka kisebb. azaz
2. képlet (3,29) egy kvadratúra képletű interpolációs típusú, azaz a
Használata 1. Tétel nagyban egyszerűsíti az építőiparban a Gauss képletű.
Állapot (3,32) egyenértékű követelmények
amely egy egyenletrendszert az ismeretlenek. Így, építésére Gauss képletek talál elegendő csomópontok ortogonalitás kapcsolatok (3,34), majd kiszámítja az együtthatókat szerinti (3,33).
Nézzük meg néhány speciális esetben, ha megtalálja a megoldást a rendszer (3,34) közvetlenül.
Let. . . Amikor megkapjuk és
(A megoldás abban a házban. Ass. №4).