Határérték

A határértékek meghatározása és típusa

Az X pontot egy X topológiai tér egy A részhalmazának határpontjaként nevezik. ha minden lyukacsos szomszédságnak van egy nem üres metszéspontja az A-val.

Az x pont az A részhalmaz szigorúan korlátozó pontja. ha minden x szomszédsága végtelen számú közös pontot tartalmaz az A-val. A T1-terek (vagyis az olyan helyek, ahol az összes pontot (egypontos készletet) lezárták) a határérték és a szigorúan korlátozó pont fogalma egyenértékű.

Az x pont az A részhalmaz teljes felhalmozódásának az a pontja. ha az U pont minden szomszédságában az U ∩ A metszéspont kardinalitása megegyezik az A halmaz jellegzetességével.

Kapcsolódó fogalmak és tulajdonságok

Az A készlet minden pontja kétféleképpen oszlik meg: határértékek és elszigetelt pontok. Egy elszigetelt pont egy olyan x pont, melynek szomszédsága nincs más pontokkal, mint az A, kivéve x-et. Az A. részhalmaza amely egy pontból áll, A-ban nyitott (az indukált topológiában).

Az A összes határpontjának halmazát annak származtatott halmazaként nevezik és A 'jelöli. A készlet összes határpontja belép a bezárására A ¯>. Továbbá a következő egyenlőség tartja: A ¯ = A ∪ A '= A \ cup A'>. ahonnan könnyen megkapja a következő kritériumot a részhalmazok zártságára. Az A készlet zárva van, ha és csak akkor, ha minden határpontját tartalmazza.

Ha x az A halmaz határértéke. akkor van egy pont iránya az A-tól. konvergálva x-re.

Metrikus terekben. ha x az A halmaz határértéke. akkor létezik olyan pontok sorozata, amelyekben A konvergens x-re. A topológiai terek, amelyekhez ezt a tulajdonságot tartják, Frechet-Uryson tereknek nevezik.
Egy X topológiai tér akkor kompakt, ha csak minden végtelen részhalmaza legalább egy teljes felhalmozódási pontot tartalmaz az X-ben.

Az X topológiai tér megmutathatóan kompakt, ha és csak akkor, ha minden benne lévő végtelen részhalmaza legalább egy szigorú határértéket tartalmaz X-ban. Minden kompakt méretnél kompakt. A metrikus terek esetében az ellenkező is igaz (a metrikus tér kompaktságának kritériuma): a metrikus tér kompakt, ha és csak akkor, ha számíthatóan kompakt.

(Különösen, mivel az egyenes szegmens kompakt, számíthatóan kompakt, következésképpen a vonal minden végtelen határolt részhalmaza legalább egy határértéket tartalmaz.)

A Hausdorff-tér zárt rendszere tökéletes. ha mindegyik pontja egy határérték (azaz ha a készlet nem tartalmaz elszigetelt pontokat). Példák a tökéletes készletekre az egyenes vonal szegmens, a Cantor készlet.

Numerikus készlet határértéke

Különösen egy számsor pontját az olyan számsorozat határpontjának nevezzük, amelynek végtelen számú eleme van. minden olyan szomszédban, ahol végtelen sok eleme van ennek a készletnek. Azt is megvizsgálhatjuk egy ilyen készlet határpontját - ∞. ha elemei közül lehetõség van egy végtelen nagy sorozatot alkotni párosán elkülönített negatív elemekkel. Ha egy végtelen nagy szekvenciát párhuzamosan elkülönülő pozitív elemekkel lehet összeállítani, akkor figyelembe vehetjük a határértéket + ∞ [1].

A számsorozat felső határpontja a legnagyobb határpontja.

A számhalmaz alsó határpontja a legkisebb határpontja.

Bármely határolt numerikus készlet esetében, amelyeknek végtelen számú eleme van, mind a felső, mind az alsó határértékek (a valós számok halmazában) vannak. Ha ∞ és + ∞-t adunk hozzá a valós számokhoz. akkor a kapott készletben a határértékek általában minden numerikus készletet végtelen számú elemgel rendelkeznek.

Bármely határolt numerikus készlet elemeitől számtalan elemszámmal választhatunk ki egy konvergens szekvenciát, amelynek elemei párosan különböznek egymástól.

A számsor végpontja

A szekvencia határpontja bármely olyan szomszéd pont, ahol a szekvencia végtelen sok eleme van [1].

x a szekvencia határpontja n = 1 ∞ ⇔ \ jobb \> _ ^ \ Leftrightarrow> ⇔ ∀ ε> 0 ∃ X ⊆ N. | X | = ℵ 0 ∧ ∀i ∈ X. | x i - x | <ε

\ létezik X \ subseteq \ mathbb \ colon \ left | X | jobbra = \ aleph _ \ föld \ forall i \ in X \ colon \ balra | x_-x \ jobb |<\varepsilon>

A szekvencia legnagyobb határpontját felső határának nevezik. és a legalacsonyabb határérték az alsó határ.

Néha a lehetséges határpontok halmaza "- ∞" és "+ ∞". Így, ha egy végtelen nagy szekvenciát különböztethetünk meg a szekvenciától, amelynek összes eleme negatív, akkor azt mondjuk, hogy a "- ∞" a szekvencia határpontja. Ha a szekvenciából egy végtelenül nagy algoritmust lehet kiválasztani, csak pozitív elemekkel, akkor azt mondjuk, hogy a "+ ∞" a határpontja [1]. Ebben az esetben természetesen a szekvenciának más határértékek is lehetnek.

Egy pont egy szekvencia végpontja, ha és csak akkor, ha egy szekvenciát kiválaszthat ebből a szekvenciából. konvergálnak erre a pontra. x a szekvencia határpontja n = 1 ∞ ⇔ ∃ n = 1 ∞ ∀i ∈ N. k i _ ^ \ Leftrightarrow \ létezik \ bal \\ jobb \> _ ^ \ forall i \ in \ mathbb \ colon k_= x> Néha ezt a tulajdonságot definíciónak vesszük, és a fenti meghatározás egy tulajdonságra vonatkozik.
Minden konvergens numerikus sorrendnek csak egy határpontja van. x. x 'a szekvencia határpontjai n = 1 ∞ ∧ ∃ lim n → ∞ x n ⇒ x = x '\ jobb \> _ ^ \ föld \ létezik \ lim _x_ \ Rightarrow x = x'>
A konvergens számsorrend határértéke megegyezik a határértékével. x a szekvencia határpontja n = 1 ∞ ∧ ∃ lim n → ∞ x n ⇒ lim n → ∞ x n = x \ jobb \> _ ^ \ land \ létezik \ lim _x_ \ Rightarrow \ lim _x_ = x>
Minden véges pontkészlet esetében létre lehet hozni egy sorozatot, amelyre ezek a pontok korlátozni fognak, és nem más, mint azok.
Az önkényes numerikus szekvenciának legalább egy határpontja van (vagy valós vagy végtelen).

Egy sor <1> n = 1 ∞ _ ^> egyedülálló 1-es határérték van (bár nem egy elem egy elemsorozat elemeinek értékkészletének határértéke).
A szekvencia <1 / n> n = 1 ∞ _ ^> egy egyedi határérték 0.
A természetes számok sorozata n = 1 ∞ _ ^> nincsenek határértékek (vagy más értelemben van egy határérték + ∞).
A szekvencia <( − 1 ) n> n = 1 ∞ \ jobb \> _ ^> két határérték van: -1 és +1.
Az összes racionális számsorozat n = 1 ∞ \ jobb \> _ ^>. tetszőlegesen számozva, végtelen sok határérték van.

Határérték

Egy pont egy irány határpontja, ha és csak akkor, ha létezik olyan alirány, amely ehhez a ponthoz közelít.
- Különösen egy pont egy szekvencia határpontja, ha és csak akkor, ha van egy al-irány. konvergálnak erre a pontra.
- Ha egy topológiai tér minden pontján van számozható bázis, akkor az előző alfejezetben beszámolhatunk a későbbiekről.

Legyen A = [0, 1) irányított növekvő sorrendben. Az irányba <α> α ∈ A _> létezik egy egyedi határérték 1> a topológiai térben [0, 1].

Kapcsolódó cikkek

előző ◈ a következő