Bomlása elemi függvények Maclaurin sorozat
Kritériumai bővülő funkciók Taylor
Térjünk vissza a ranglétrán. A §2.7 azt találtuk, hogy ha a funkció bővíthető konvergens hatványsor neki, hogy erre a funkcióra Taylor-sor.
Felmerül a kérdés, hogy az ellenkezője igaz? Tegyük fel, hogy a függvény végtelen differenciálható az intervallumon. Formálisan megépíteni a Taylor-sor rá. De amíg nem tudjuk, hogy mi a funkció az összeget a sorozat, azaz a e építette Taylor-sor konvergál a függvény az intervallumon. helyett az egyenlőségjel tegye a megfelelőségi jel:
Határozzuk meg azokat a feltételeket, amelyek mellett a jel lehet cserélni egy egyenlőségjel. Írjuk fel a Taylor formula funkciók:
ahol - a fennmaradó, és
- Taylor polinom n-ed-fokú, amely lehet tekinteni, mint egy részleges összege Taylor-sor. Így
A fennmaradó ideje Taylor képlet a funkciót lehet meghatározni, mint a különbség a funkció és a részleges összege Taylor-sor:
Számának növelésével n a kifejezések számának a részösszegként, azaz Taylor polinomok növekszik, és a többi változatlan. Láthatjuk sorozata hibatagokat. Ez a sorozat a meghatározott feladatok ugyanazon a környéken egy. amelyben van egy végtelenül differenciálható függvény. A fennmaradó kifejezés hibát jelez, ami a csere funkciók részleges összegeket a Taylor-sor. Egyértelmű, hogy így jó közelítéssel sorozatából hibatagokat kell általában nulla. Ehelyett kombinációja „sorozata hibatagjai,” gyakran mondják egyszerűen „fennmaradó”.
1. Tétel A szükséges és elégséges feltétele a konvergencia az Taylor-sor a funkciót.
Annak érdekében, hogy a funkció ki lehetne terjeszteni a Taylor-sor
az intervallum. szükséges és elegendő, hogy volt ebben az intervallumban és származékai bármilyen sorrendben, hogy a fennmaradó kifejezést a Taylor képletű (2.9.1) nullához egyáltalán. ha n ® ¥.
Tétel 2 O elégséges feltétele a fennmaradó Taylor képletű konvergencia nullára.
Ha a funkció az e-szomszédságában egy származéka bármely sorrendben korlátozza az azonos számú a hátralévő Taylor formula a közelben, hogy nulla, ha:
Bomlása elemi függvények Maclaurin sorozat
Figyelembe a származék - egy 90 ° -os elforgatásával (nris.2.10.3). Származékai bármilyen sorrendben határolja: a. . Ezért a 2. tétel. és a funkciót bővíthető konvergens neki egy Maclaurin sorozat hatásköre x:
Megmutatjuk, hogy az így kapott sorozat konvergál a teljes valós tengelyen. Az általános arány teszt:
konvergál minden x.
Row (8 *) eltér a bomlási hiperbolikus szinusz (2 *), váltakozó jelek.
Távon távú differenciálódás a sorozat (8 *), megkapjuk a bomlás a koszinusz a Maclaurin:
mert sorozat (9 *) kapott differenciálásával sorozat (8 *), a tétel a differenciálódás számos hatványsorok (9 *) ugyanolyan konvergencia intervallum hogy a sorozatban (8 *).
Sorozat (9 *) eltér a bővítése a hiperbolikus koszinusza (3 *), váltakozó jelek.