fergeteges tétel

. R e w n e írni, hogy a konjugált formában, kiszámításával;

Hagyja, hogy a változás a különbség. Vessük össze a két egyenletet:

És itt, és. Az első egyenlet felírható:

Ez Euler egyenlet. Egyéni megoldások kért formában:

.

Helyettesítő az egyenletben. Ezután megkapjuk a karakterisztikus egyenlet:

.

Elhelyezés kapjunk. általános megoldás

.

Ha veszünk egy adott megoldás, hogy van egy végtelen számú nullát a pontot: ha az összehasonlítás tétel két egymást követő nullák az egyenlet tekinthető (at), majd legalább egy nulla mindegyik egyenlet megoldása:

A be az e t: mindegyik egyenlet megoldása (12,48) van egy végtelen számú gyökerek az intervallumban.

12.2 A koncepció a határ-érték problémák

A Cauchy probléma a differenciálegyenlet nevezzük a probléma megtalálásának sajátos megoldást kielégítő az adott kezdeti feltételek. De amikor foglalkozó sok fizikai problémák (string rezgés, hő terjesztése a rúd, a diffúziós anyagok, stb), hogy megoldást találjanak a differenciálegyenlet csak a tartomány és ezzel egyidejűleg meg kell felelniük az úgynevezett határ (határ) feltételek, amelyek meghatározása több mint egy pont ( a Cauchy probléma), és a végpontok. A feladat megtalálni a megoldást, hogy a differenciálegyenlet kielégíti az adott peremfeltételek, határ érték problémát nevezik.

Tekintsük a készítmény határ érték problémák néhány lineáris másodrendű differenciálegyenletek. A elmélet lineáris differenciálegyenletek Ismeretes, hogy az egyenlet:

ahol - a folytonos függvény egy általános megoldása formájában:

Funkciók és - meghatározott, és lineárisan független ebben az intervallumban részmegoldások megfelelő homogén egyenlet; - adott oldatban az inhomogén egyenlet (12,49); - tetszőleges állandók.

A határ érték problémát egyenlet (12,49) az általános esetben formulázott a következőképpen: megoldást találni ennek az egyenletnek megfelelő az adott peremfeltételek. Ebben az esetben figyelembe vesszük a következő peremfeltételeket:

1) (a körülmények között az első típus).

Geometriailag, ez azt jelenti, hogy meg akarja találni a szerves görbe a differenciálegyenlet (26), melyek a adatpontok és.

2) (a feltételeket, a második típusú).

Geometriailag ez azt jelenti, megtalálni a szerves görbéje egyenlet (12,49), amely egyenes és metszi előre meghatározott szögben.

Ezek a körülmények is bemutatásra formájában a megfelelő lineáris kombinációi:

meghatározó a probléma vegyes peremfeltételek, ahol - az előre meghatározott szám; ahol minden egyes A párokat és, és legalább az egyik a számok nem egyenlő nullával.

.

A geometriai jelentése a határ érték probléma az utolsó peremfeltételek: építeni egy integrál görbéből az egyenlet (12,49), amely áthalad a ponton, és a vonal metszi szögben.

3) -, és a korlátozott mennyiségű (a harmadik típusú feltétel).

Között a határ érték problémák alapvető homogén határ érték problémák, amelyek kapcsolódnak, különösen a tanulmány a saját módok mozgás különböző fizikai rendszerek.

Homogén határ érték problémák - ez a probléma a megállapítás a megoldások a homogén lineáris differenciálegyenlet homogén peremfeltételek.

A peremfeltételeket homogénnek nevezzük, ha az a tény, hogy a függvény (különösen oldat) megfelelnek ezeknek a feltételeknek, ebből következik, hogy bármilyen lineáris kombinációja szintén megfelel az azonos körülmények között.

Különösen, a peremfeltételek (12.51) egységes lesz a. Nyilvánvaló, hogy ilyen körülmények között eleget tesz a funkciót, amely tehát egy olyan megoldás, hogy a homogén határ érték probléma. Azonban a triviális megoldás ritkán érdeke kutatók és legkeresettebb nullától megoldásokat. Vegye figyelembe, hogy olyan egységes határ problémája vagy nem lehet nem triviális megoldás vagy egyáltalán van nekik számtalan. Ehhez a funkcióhoz egy határ érték problémák előadásaik, amely biztosítja a létezését, és ha szükséges, és egyediségét a megoldás.

Tekintsük a példát, amelynek meghatározott jelentése van alkalmazva.

Példa 1. példa: megtalálni a megoldás a differenciálegyenlet

kielégíti a peremfeltételeket