A tulajdonságok egy periodikus függvény
1) az összeg, különbség, a termék és a hányadost időszak periodikus függvények egy periodikus függvény az időszak.
2) Ha az idő függvényében. A funkció az időszak.
3) Ha - egy periodikus függvény az időszak. hogy bármely két egyenlő integrálját ezt a funkciót átveszi a hossza a intervallumok (az integrál létezik), m. e., ha bármely és az egyenlőség.
Fourier-sor (Fourier - francia matematikus és fizikus, 1768-1830) leírására használt periodikus folyamat, oldatok differenciálegyenletek, közelítése időszakos és nem periodikus függvények. Ezekben az esetekben, a leíró függvény szakaszos eljárás képviseli, mint az összege egyszerű periodikus függvény, az amplitúdó, oszcilláció fázisú, a kezdeti szakaszban.
Abban a hitben. felírható
Összetett folyamatok leírt funkciójának formájában
Kifejezése formájában. ahol - az alap trigonometrikus rendszer funkcióit nevezzük trigonometrikus Fourier-sor.
Az alapvető trigonometrikus függvények a rendszer:
. Ez határozza az intervallumon. ahol - az időszak a funkciót. A számok az úgynevezett Fourier-együtthatók a funkciók.
10.Dostatochnye jelei bővülő funkciók Fourier-sor
Definíció. pont diszkontinuitás az első fajta az úgynevezett egy pont a diszkontinuitás, ha van véges jog korlátai és balra a függvény egy adott pontban.
Dirichlet-tétel. Ha a szegmens függvény véges számú pontot diszkontinuitás az első fajta (vagy folyamatos) és véges számú (vagy már egyáltalán nem azok) szélsőérték pontot, akkor a Fourier-sor konvergens, azaz a. E. Ez egy összeget. minden pontján ebben a szegmensben. Ebben az esetben:
1) függvényében folytonosság pont konvergál a funkció;
2) minden pontján diszkontinuitás funkciója konvergál a fele összeget egyoldalú funkció kívül a jobb és a bal oldalon;
3) mind a határpont a szegmens általában konvergens értéket ezeket a pontokat belül a szegmens határait a fele összeget egyoldalú funkciót.
11. A Fourier-sor a periodikus függvények a időszakban
Ez az úgynevezett trigonometrikus Fourier-sor egy periodikus függvény. ha együtthatók meghatározására képletekkel:
Példa. Bővült a Fourier-sor periodikus függvény f (x) a T periódus = 2l. amely intervallumban által megadott egyenlet.
Határozat. Keressük az együtthatók Fourier-sor:
. t. A .. bővítése valósul meg. így, a kívánt expanziós a formája:
12. A Fourier-sor a periodikus függvények a időszakban
A Fourier-sor egy ilyen funkció nyert száma 1 értéken.
Példa. Kibővített Fourier függvény az intervallumon egyenletben.
Határozat. Grafikonja ez a funkció a szegmens összekötő pontok és. Az ábra mutatja a függvény grafikonját.
Ez a funkció periódusidővel.
Mi határozza meg az együtthatók a Fourier sor. először meg
A második integrál nulla, mint a szerves páratlan funkció, átvett egy intervallum szimmetrikus a eredetű.
Következő, azt látjuk, az együtthatók:
Mindkét integrálok nullával egyenlő, azaz. K. INTEGRAND második páratlan integrál a termék a páros és páratlan funkciókat. Szóval t. e ..
Határozzuk meg most az együtthatók:
Az első integrál nulla. Az integrandus az integrál a második - még a termék két furcsa funkciókat. Így.
Mi megoldjuk ezt a szerves, integrálás:
Következésképpen a bővítés a funkció Fourier-sor a formája: