Annak érdekében, hogy vésés
A képlet a Gauss. Szolenoid vektor polya.Teorema 1. Legyen egy vektor mező folytonosan differenciálható az egység áramköri területet, amelynek határa van szakaszonként sima felület orientált normális külső területen. Ezután a következő képlet Gauss (1)
Bizonyítás. Formula Gauss, kihagyva érvek reprezentálható formájában (2)
Megmutatjuk, egyenlőség (3)
Elemi mező G z-tengely tekintetében több mérhető jellemzői és folyamatos lezárásáról szóló E és úgy, hogy minden, és
Ezért, a felszínen a „ívelt henger» G három részből áll:
„Felső alap”, „alsó alap” és „oldalfelület”
Mivel a normál vektor a „oldalfelület” párhuzamos az xy síkra, majd az így csökkentve másodrendű integrálját az első fajta, hogy az integrál, megkapjuk
A meghatározása 2 a második fajta felületi integrálok át a felső oldalfelülete és az alsó oldalfelület kapjunk
A Newton-Leibniz formula, megkapjuk
Ennélfogva, a tétel a csökkentésére egész számú többszöröse a (3) képletű, hogy újra.
Hasonlóképpen, elemi régió G tekintetében x és y tengelyek, egy kaphatnak egyenlet (4) (5)
Egyenleteket kombinálva (3) - (5), megkapjuk a Gauss képletű (2).
2. Tétel Legyen
régió G is képviselteti magát az unió véges számú diszjunkt elemi régiók és szakaszonként sima felületek feküdt a határokat a régiók
a határ a G egy szakaszonként sima felület orientált területén kifelé normals;
vektor mező folyamatosan differenciálható áramkörben G.
Ezután a következő képlet Gauss (1).
Bizonyítás. By 1. tétel minden egyes elemi régióban van a képlet Gauss
Mivel az elemi régiók mérhető, akkor a feltétel az, hogy a additivitásra többszörös integrál
Miután jelölésére közös határ a szomszédos elemi régiók és orientált normál területen, a külső, hogy a mezőbe, majd orientációs felületek és kölcsönösen ellentétes, és ezért
Ezért, amikor összegzése a integrálok felületek mentén a integrálok át a közös határokat a szomszédos mezők kioltják egymást, és továbbra is integrál határfelületet G. Így, a (6) képletű Gauss képlet a területen G.
Megjegyzés nincs bizonyíték, hogy a Gauss-képlet is a területre érvényes G, ami nem képviselteti magát az unió véges számú elemi régiókat és azok határait, azaz helyett (1) 2. Tétel elég kötelezni mérhető területen G.