subring
Határozott ?? ix. A betegek egy részénél a gyűrű nevezzük subring és kijelölt, ha egy gyűrű tekintetében összeadás és szorzás műveletek határozzuk ?? ennyh gyűrűt.
Minden gyűrű, nyilván, ott vannak a következő subrings:
· Zero gyűrű, ahol.
Annak bizonyítására, hogy egy adott részhalmaza subring gyűrű ez a gyűrű, lehet használni a következő tétel.
Tétel. Ahhoz, hogy egy nem üres részhalmaza a gyűrű volt subring elengedhetetlen, és elegendő, ha a következő két feltétel:
(- alcsoport additív csoport);
(- subsemigroup multiplikatív félcsoport gyűrű).
Bizonyítás. Bebizonyítjuk rendkívül fontos tés feltételeit.
Tegyük fel, hogy - subring.
Let - tetszőleges részhalmaza elemeket.
Ezután, az egyes elemek
gyűrű tartalmazza:
ha legalább az egyikük tartalmazza legalább, nem lenne egy részhalmaza a gyűrű képest meghatározott műveletek ennyh ??, és ezért nem kell subring.
Lássuk be a megfelelőséget. Tegyük fel, hogy egy részhalmaza megfelel a feltételeket, a tétel.
Ezután a alcsoportjában ?? ENO koncepció összegek és termékek, ᴛ.ᴇ. Meghatároztuk, egy részhalmaza ?? ének műveletek az összeadás és szorzás.
Ezek a műveletek egy részhalmaza az asszociatív, kommutatív és elosztó jog kapcsolódik:
A nulla elemet 0 tartalmazza és reverz (szemközti) elem.
Sőt, még akkor is - tetszőleges részhalmaza elemeket.
Aztán ᴛ.ᴇ. és ᴛ.ᴇ. .
Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, egy részhalmaza a gyűrű tekintetében összeadás és szorzás műveletek határozzák meg ?? ennyh, és így egy subring.
Példák. 1. Ring páratlan egész egy subring egészek -.
2. Ring egészek egy subring racionális szám -.
3. A gyűrű a racionális számok és egy gyűrű, ahol, mint korábban, - több féle szám valós számok subrings -.
Egy tetszőleges gyűrű család subrings következő állítást.
Tétel. A kereszteződés minden családnak subrings van subring:
Bizonyítás. A nulla elemet 0 a gyűrű, amely minden egyes al-gyűrűk, és így azok a saját metszéspontjában.
Ha - gyűrűs egység, egyes subring tartalmaznak még egy, a gyűrű, és következésképpen azok kereszteződés lesz tartalmazhatnak egy gyűrűt.
Let - tetszőleges tartozó elemeket. Elemek, és természetesen tartalmazza az egyes al-gyűrűket.
Meghatározásával ?? eniyu gyűrű alakú elemek, és szintén tartalmazza az egyes al-gyűrűk, ezért - kielégíti axiómák gyűrű subring.
Tegyük fel, mint korábban, egy tetszőleges sor, amely minden egyes subrings:
akkor meg tudjuk határozni a minimális subring tartalmazó előre meghatározott:
Ha - subring, akkor.