Tulajdonságok hatványsorok és összege
Távon távú integrációs és differenciálódását hatványsor nem változtatja méretét, a konvergencia.
Bizonyítás. Alatt a kifejezés-utal az integráció egy számot a szegmens. A művelet következtében :.
Ez is a hatalom sorozat, a konvergencia sugara megegyezik a sugár a konvergencia az eredeti sorozat.
A sorozat eredményeként kapott a Terminusonként differenciálódás is hatványsorba. A sugár a konvergencia is egyenlő a sugár a konvergencia az eredeti sorozat.
2. (távú motoros sorozat). Hagyja, hogy a összege hatványsorba a régióban a konvergencia egyenlő funkciót. azaz . Ekkor.
Bizonyítás. Ez az állítás következik egyenletes konvergenciája hatványsor az intervallum iTeoremy 18.2.3.2 a távon távú integrációs egy egyenletesen konvergens sorozat.
3. (Terminusonként differenciálódása az elektromos sorozat). A hatványsor Terminusonként képesek differenciálódni bármely pontján konvergencia tartomány és.
Bizonyítás. ez az állítás következik egyenletes konvergenciája hatványsor álló származékok szempontjából az eredeti sorozat, bármely intervallumban fekvő tartományban konvergencia iTeoremy 18.2.3.3 termwise differenciálódás egyenletesen konvergens sorozat.
4. (végtelen differenciálható összegek hatványsorok). Az összeg a hatványsor bármely pontján a konvergencia intervallum származékok bármilyen sorrendben; Ezeket a származékokat úgy állíthatjuk elő, szekvenciális kifejezés eredeti sorozat.
Bizonyítás. Ez az állítás következik a tételt az differenciálódását hatványsor távon távú; egymást követő alkalmazásával ez a tétel adja, stb
18.2.5. Taylor-sor. Bebizonyítottuk, hogy az összeg a teljesítmény sorozat bármely pontján intervallumban konvergencia végtelenül differenciálható. Fejezzük együtthatók a származékok összege (hasonló probléma megoldására született az Alapszabály 7.7. Taylor-formula).
. Tegyük fel, hogy van. Minden tagja a sorozat, kivéve a nulla, eltűnnek, és.
Folytatva ezt a folyamatot, megkapjuk. Cseréje az együtthatók a kifejezést kapjuk, mi képviselnek, mint a
. A sorozat a jobb oldali ezen képlet nevezik Taylor-sor funkciókat. Abban a különleges esetben, ha több formáját ölti
. ez az úgynevezett Maclaurin sorozat. Emlékezzünk vissza, hogy ez a sorozat kapunk, feltételezve, hogy - az összeg a teljesítmény sorozat és x - pont az intervallum a konvergencia.
Most tekintsük az inverz probléma: mi legyen a funkciója. hogy lehet reprezentálni az összeg a teljesítmény sorozat? Az első dolog, hogy az világos, hogy ott kell lennie egy végtelenül differenciálható függvény (összegeként a sorozat végtelenül differenciálható). A második -, hogy számos tényező egyenlőnek kell lennie. Ezért azt feltételezzük, hogy adott egy végtelenül differenciálható függvény. találtunk számos tényező, melynek képlete. Készítettünk számos hivatalos és találtam egy olyan területen, a konvergencia. Will az összeg a sorozat a régióban a konvergencia. Ez az a kérdés, amely azt fogja csinálni.
Itt egy példa, amikor a Maclaurin funkció konvergál nem. és másik funkció. Hagyja Belátjuk, hogy minden származéka ezt a funkciót az x = 0 értéke nulla. Amikor. . Ez a bizonytalanság nyilvánosságra kiszámítása során bármely származéka; cseréje t = 1 / x, mert csökken a bizonytalanságot tartalmazó erő és exponenciális függvények, határérték minden esetben határa határozza meg az exponenciális függvény, és egyenlő nullával. Az érték a származék x = 0 található a definíciója a származék:
. Így a származék folytonos az x = 0, és egyenlő nullával. stb Ez azt bizonyítja, hogy az összes származékok az x = 0 értéke nulla. Ennek következtében minden együttható a Taylor sor erre a funkcióra a nullával egyenlő, és az egész valós tengelyének a sorozat konvergál az függvény azonosan nulla, és nem.
Megfogalmazzuk azokat a feltételeket, amelyek mellett a Taylor-sor konvergál a funkciót. Ezek a feltételek kényelmesen formálhatjuk szempontjából a fennmaradó kifejezés Taylor-formula. Emlékezzünk 7.7 eredményeket. Taylor formula. ha van a környéken minden származéka legfeljebb n + 1-edik érdekében, ez lehet leírni, mint egy Taylor-formula, a maradék formájában Lagrange. ahol - a fennmaradó formájában Lagrange; - egy pont között helyezkedik el az x és. .
Tétel. Ahhoz, hogy egy végtelenül differenciálható függvény a szomszédságában szétbontva Taylor-sor, szükséges és elégséges.
Bizonyítás. Szükségszerűség. Tegyük fel, hogy a pont szomszédságában funkció képviseletében a konvergens, hogy a funkció a Taylor-sor. ahol - a részleges összege a sorozat - az ő maradványait. Mivel a szükséges mennyiségű a származékok, leírható formájában Taylor-formula, a maradék formájában Lagrange. Összehasonlítva ezeket ábrázolások érkezett. A konvergencia a sorozat annak. QED.
Megfelelősége. Ha. akkor. azaz sorozat maradékot nullához. azaz A sorozat konvergál a funkciót.