Quadrature Newton-Cotes formulák - studopediya
Ha kiválasztva Lagrange interpolációs polinomot egyenlő távolságra interpolációs pontokat, a számszerű képletek kapott interpoláljuk úgynevezett Newton tér képletek - Cotes.
Tehát, van egy képlet numerikus integrálással
Formula (3) kerül kapuzott a képlet, ha a végén a integrációs intervallum és az interpoláció csomópontok nyitott típusú, ha legalább az egyik vége nem egy interpolációs csomópontot.
Írja be a Lagrange polinom összefoglaló formában
Nem függ a funkciót, de csak pont interpoláció. Figyelembe vesszük egyenlő távolságra csomópontok h lépéssel.
Lagrange polinom egyenlő távolságra lévő formája van:
Ahhoz, hogy végül megkapjuk az együtthatók:
Együtthatók (4) van Cotes együtthatók. Ezeket lehet számítani a különböző m.
Legyen n = 1. 2 van egy csomóponthoz, és az interpolációs együttható Cotes és két.
Ha n = 2 van három csomópont Cotes együttható.
3.chastnye esetek numerikus integrálással.
1) általános képletű közepes téglalapokat.
Integrandus cserélje Lagrange interpolációs polinom foka nulla
n = 0, van egy interpolációs csomópont, hagyja
az interpolációs feltétel
Általános képletű (5) a képlet átlagos téglalapok.
A geometriai jelentése abban a tényben rejlik, hogy a terület a görbe vonalú trapéz helyébe a területen egy téglalap.
Pontosság trapéz szabály.
Ha n = 1, - a fennmaradó Lagrange-formula.
Tétel: Ha f (x) függvény folytonos származékok akár másodrendű, az intervallum, a hiba
Mint az előző esetben, alkalmazásával a Taylor formula, és ha az átlagos érték tétel, az integrál, kapjuk:
Ha, akkor megkapjuk a becsült hiba módszer:
3) általános képletű parabola (Simpson).
Integrandus cserélje Lagrange interpolációs polinom másodfokú
, van három csomós interpoláció. Úgy döntünk,
Csomópontok egyenlő távolságra lépés. Van három együtthatók Cotes
A képlet szerint a Newton - Cotes van:
Képlet (9) van parabola általános képletű (Simpson).
Geometriai jelentése az, hogy a grafikon a grafikon helyébe a Lagrange polinom másodfokú (parabolikus) a szegmens. Kiszámításakor a szerves a (9) képletű, a számszerű érték megegyezik a terület a görbe trapéz által határolt felső ív a parabola pontokon átmenő
Pontosság képletű parabola.
Tétel: Ha egy függvény folytonos-származék az intervallum legfeljebb negyedrendű, akkor a hiba parabola képlet alábbi képlettel számítottuk ki:
Ha, akkor megkapjuk a becsült hiba módszer:
Ahhoz, hogy növeli a pontosságot a számítás az integrál használjuk a következő módszerrel: A integráció intervallum van osztva egy kellően nagy számú villódzó intervallumok és az egyes részleges szegmensek alkalmazni kvadratúra Newton képletű - Cotes alacsony n. Elkészített képlet egyszerű szerkezet, amelyek az úgynevezett általános képletek.
5. Az általánosított numerikus integrálással.
1) általános képletben a közepes téglalapokat.
Elosztjuk az intervallum beilleszkedés n egyenlő részre, megkapjuk szegmensek
integrációs lépést. Minden részleges szegmens alkalmazni a korábban kapott elemi formula közepes téglalapokat és add fel az így elért eredmények mi lesz az általános átlag formula téglalapok.
Ha interpolációs csomópont minden részleges intervallumban, hogy a bal oldalán, megkapjuk, és
- általános képletben a bal téglalapok (11a)
Ha a megfelelő komponensek kiválasztása a végére, és
- jobb téglalapok általános képletben (11c)
A hiba az általános képletben átlagos téglalapok.
Minden részleges szegmens megengedett hiba képlettel számítjuk ki (6), Van n részleges szegmenseket. Hozzáadjuk a hibákat, van:
Megduplázása az osztás száma pontot, a hiba csökken 4-szer.
- felső határa a második derivált a szegmens.
2) általános képletben trapéz.
Szegmens integráció van osztva n egyenlő részre a pont, megkapjuk az integrációs lépést.
Minden részleges szegmens alkalmazható elemi trapéz szabály és a kapott eredményeket összeget.
Ez egy általános képlet trapéz.
Pontosság általános trapéz szabály.
MPE kiszámítása a képlet (10) minden részleges intervallumban, majd a teljes intervallum kapjunk
Megduplázása az osztás száma pontot, a hiba csökken 4-szer.
3) általános képletű parabola.
A pontosság a közelítő integrálás jelentősen növeli, ha a integrandust minden részszakasz helyébe egy másodfokú függvény. Elosztjuk az intervallum integráció n egyenlő részre, majd minden kapott szegmens még osztani a felére. Általában kapott páros számú 2n időközönként. Alkalmazzuk a képlet (9), hogy mindegyik pár szomszédos partíció szegmensek.
Összefoglalva az egyenlőség, megkapjuk az általánosított parabola:
Pontosság általános képletben parabola.
Mindegyik pár szomszédos szegmense a becsült hiba, amelyet a képlet (10), van N párokat, majd
A gyakorlatban, ha a probléma megoldódik az a számítógép használata, a hiba kiszámítása a következő képlet szerint gyakorlati hibabecslés alapján Double Jeopardy.
- határozott integrál által kiszámított érték particionáló n (n - még).
- határozott integrál értékét kiszámítani a szétválás a 2n darab.