Parketta matematika, Polytechnic (Polytechnic Museum)

Lépek, csempe a fürdőszobában csempe a közúti és a munka a holland művész Maurits Escher - mi a közös bennük? Úgy tűnik, mindenki kitalálta: minta, kitölti a teret nem hiányos és átfedések. Ez a minta látható a padlón a Matematika Laboratórium a Műszaki Múzeum.

Zoya Zakharova labor oktató vezet egy osztályt sorozat „Applied Mathematics”, az egyik témája - a csempe és parketta van. „Tény, parketta - csak egy része az általános probléma a csomagolás, - mondja. - Például, ha a számok három-dimenziós, a feladat az, hogy verem őket szűk, annak kiderítésére, hogy ez lehetséges, és így tovább. Nagyjából ez a téma továbbra is nagyon kevéssé ismert. "

És ez nem csak egy elvont matematikai és még minták Escher: a parketta mehet a nagyon praktikus tudományos problémák. Például, egy csomag ásványi részecskék, amelyeknek a sűrűsége függ számos fizikai tulajdonságait homok és talaj.

Mozaikmintákat által inspirált Alhambra geometriai kreativitás Moritz Escher

megfelelő padló

A legegyszerűbb parkettával alkotják azonos szabályos sokszögek, ugyanazzal a kézzel és a szögek. Ahhoz, hogy érintse az ábrán a felső, így hézagok nélkül, és ezek a konvergens sarkok kell egy összesen pontosan 360 °, nem több és nem kevesebb.

Minden vertex padló is konvergálnak Csak egész számok (és szögek), így 360 ° kell osztható az értéke a belső szög. Ez az érték 180 ° * (n-2) / n, ahol n - a csúcsok számát helyes összeg. Például, az egyenlő oldalú háromszög - 180 ° * (3-2) / 3 = 60 °, de egy négyzet alakú, négyszögletes - 90 °.

Kiderült, hogy 360 ° / (180 ° * (n-2) / n) egész számnak kell lennie. Ez az arány lehet egyszerűsíteni 2 * n / (n-2), és kiszámítja, hogy az a fő parkettát általában illeszkednek csak néhány helyes formák - háromszögek, téglalapok (négyzetek) és hatszögek ( „cell”). Sem öt sem nyolcszögeket, sajnos, nem ez a megfelelő út csempe.

Moritz Escher „Két legyet (№18)» 1938 Wikimedia

Mozaik csempe és Penrose Polytech

Két vagy több darab, akkor csempe a semiregular parketta, és segítségével egyszerű számításokat - azt mutatják, hogy a gépük van pontosan nyolc darab. Azonban a rendszeres poliéder geometriája nem korlátozódik. Ha nem ellenzi az ilyen számokat, és segítségével bármilyen, esetleges tilings lesz végtelen.

Talán még feladni a szimmetria a transzfer, burkolólapot összetett minta: ha egy kép valahol mozgatni, akkor soha nem egyezik az eredetivel. Ezek a nem-ismétlődő parketta lehet elterjedt a különböző formák.

Klasszikus tanulmányok ebben a témában a második felében a huszadik században volt a híres brit matematikus Roger Penrose, aki leírta háromféle mozaikok, amely korábban 2-6 különböző számok zamoschayuschih sík hézagmentesen, és a minta nem ismétlődik soha többé. A Penrose lehetetlen találni egy „minimális” figura, aki nem másolható, hogy fedezze a sík hézagmentesen. Még meglepőbb, hogy a mozaik is, anélkül, hogy megismételné, zamoschaet egészében.

Harmadik Penrose mozaik típusú (P3) van kialakítva kétféle gyűrű. Fontos itt - korlátozza a lehetséges kombinációk szomszédos rombuszok, amelyek fizikailag megvalósított formájában kiemelkedések és bemélyedések a széleiken

Sex laboratóriumában Múzeum Matematika - tökéletes illusztrációja egy nem periodikus parketta, hajtogatott háromféle számok - a kétféle szabálytalan ötszög és egy hatszög. Első pillantásra úgy tűnhet, hogy a lapok állnak egy kaotikus, véletlenszerű. Valójában, azokat gondosan kiválasztott; mester kőműves keményen kellett dolgoznia, szóló mintát.

Azonban matematikusok volna még nehezebb. Évtizedes kutatások szükségesek, hogy megtalálja a három alak, ahonnan gyűjteni, nem periodikus mintázat. Ez a minta találtak Robert Ammann csak 1977-ben. „Ammann kapta parketta Penrose rombusz, felkutatására a pálya bizonyos pontokon - egészíti Zoya Zakharova. - Ugyanakkor a rombusz a Penrose lehet hajtani nem csak nem periodikus, hanem időszakos parketta. De Ammann Penrose olyan megoldást fejlesztett ki: egy sor időszakos parketta megállapítják lehetetlen. "

Aperiodikus parketta laboratóriumában matematika lefektetett eljárás szerinti javasolt Robert Ammann 1977

előző ◈ a következő