Bevezetés a fraktálok
A koncepció a fraktál és fraktál geometria. megjelent a '70 -es évek végén, a 80-as évek közepétől vált a mindennapi élet része a matematikusok és programozók. A szó fraktál a latin fractus, és lefordítja a álló töredékek. Azt javasolták, Benoit Mandelbrot 1975-ben utalni szabálytalan, de önhasonló struktúrák, amit meg is tett. A születés fraktál geometria általában társított kiadás 1977-ben a könyv Mandelbrot `A Fractal Geometry of Nature”. Munkáiban, szoktuk kutatási eredményeket más tudósok abban az időszakban 1875-1925 évben ugyanazon a területen (Poincaré, Fatou, Julia Kantor, Hausdorff). De csak most sikerült egyesíteni a munkájuk egy rendszerbe.
A szerepe a fraktálok számítógépes grafika ma elég nagy. Azért jönnek, hogy a támogatás, például akkor, amikor szeretné, segítségével több tényező, meg a vonal és a felület nagyon bonyolult alakú. Abból a szempontból a számítógépes grafika, fraktálgeometria elengedhetetlen a termelés mesterséges felhők, hegy, tenger felszínén. Tulajdonképpen megtalálta a módját, hogy könnyen olyan komplex nem-euklideszi tárgyakat, amelyek a képek nagyon hasonlít a természetes.
Az egyik fő tulajdonságainak fraktálok egy önhasonlóság. A legegyszerűbb esetben, egy kis része a fraktál minden információt tartalmaz a fraktálok.
Meghatározása fraktál Mandelbrot, jelentése: „fraktál nevezett szerkezet, amely a részek, amelyek bizonyos szempontból hasonló az egész” [3].
2. Besorolás fraktálok
Az, hogy képviselje a sokfélesége fraktálok kényelmes igénybe, a szabványos osztályozás [2].
2.1 Geometriai fraktálok
A fraktálok ez az osztály a legnyilvánvalóbb. A két-dimenziós eset alkalmazásával állítjuk elő szaggatott vonal (vagy felület háromdimenziós esetben), az úgynevezett egy generátor. Az egyik lépésben az algoritmus, az egyes szegmensek alkotó szaggatott vonal helyébe egy törött generátor, egy megfelelő méretű. Ennek eredményeként a végtelen ismétlése ezt az eljárást, kiderül fraktál geometria.
1. ábra Az építés egy hármas Koch-görbe.
Tekintsük egy ilyen fraktál tárgyak - triadikus Koch görbe [3]. Építőipari görbe kezdődik egy szegmens a hosszúság (1. ábra) - egy 0-dik generációs Koch-görbe. Továbbá, minden link (a nulladik generációs egy szegmens) helyébe a generáló elem. ábrán feltüntetett 1-től n = 1. Ennek eredményeként az ilyen csere kapunk következő generációs Koch-görbe. Az első generációs - görbével négy egyenes egységek, mindegyik hossza 1/3. A harmadik generációs ugyanezt intézkedések - amelyek mindegyike hivatkozás helyébe egy kisebb termelő eleme. Tehát mindegyik egymást követő generáció, mind az előző generációs egységek cseréje szükséges csökkenteni alkotóeleme. Curve n-edik generációs bármely véges n az úgynevezett pre-fraktálok. Az 1. ábrán öt generáció a görbe. Ha n végtelenhez közelít görbe válik Koch fraktál tárgya [3].
2. ábra építése a „sárkány” Harter-Heituey.
Egy másik fraktál tárgy meg akarja változtatni a szabályokat épületben. Hagyja generáló elem lesz két azonos hosszúságú csatlakozik derékszögben. A nulladik generációs cserélje egység intervallum a formázó elem úgy, hogy az a szög, a tetején. Azt lehet mondani, hogy ezzel a változtatással az elmozdulás a középszintű vezetők. Az építőiparban a következő generációs végezzük szabályt legelső balra Link helyébe a generáló elem úgy, hogy a középszintű balra mozdult a mozgás irányát, és cseréjére az alábbi egységeket, az offset iránya felezőpontja szegmensek kell felváltva. A 2. ábrán az első néhány generáció és 11. generációs görbéből az az elv, a fent leírt. Reserve fraktál görbe (ha n tart a végtelenbe) nevezzük sárkány-Harter Heituey [3].
A használata számítógépes grafika geometriai fraktálok szüksége megszerzése képek a fák, bokrok, partvonal. Kétdimenziós geometrikus fraktálok létrehozásához használt volumetrikus textúra (mintázat a tárgy felülete) [2,3].
2.2 algebrai fraktálok
Ez a legnagyobb csoport a fraktálok. Megkaphatja ezeket nemlineáris folyamatok n dimenziós térben. A legtöbbet tanulmányozott kétdimenziós folyamatokat. Értelmezése nemlineáris iteratív folyamat, mint egy diszkrét dinamikus rendszer, lehetőség van arra, hogy használja a terminológia az elmélet ezeket a rendszereket: fázis portré. egyensúlyi folyamat. attraktor, stb
Ismeretes, hogy a nemlineáris dinamikus rendszerek rendelkeznek nesolko stabil állapota. Az az állapot, amelyben volt egy dinamikus rendszer, miután néhány ismétlések számát függ az eredeti állapotába. Ezért, minden stabil állapotában (vagy mondjuk - attraktort) van egy bizonyos területen a kezdeti állapotok, amelyek a rendszer szükséges, hogy csökken a végső állapotokban nézett. Így a fázis helyet a rendszer van osztva régiókra attraktoroknak vonzás. Ha a fázis egy kétdimenziós térben, a domain vonzás színezés különböző színekben, akkor kap a szín fázis portré ezt a rendszert (iteratív folyamat). Színének módosítása kiválasztási algoritmus érhetünk összetett fraktál minta bizarr sokszínű minták. Meglepetés, hogy matematikusok volt a lehetőségét, hogy a primitív algoritmusok nagyon összetett, nem-triviális szerkezetet.
3. ábra A Mandelbrot-halmaz.
Példaként tekintsük a Mandelbrot-halmaz (lásd. Pis.3 és 4. ábrán). Az algoritmus az építkezés egyszerű és alapja egy egyszerű iteratív kifejezést:
ahol Z i és C - komplex változó. Iterációt végrehajtjuk minden egyes kiindulási C. pontjában a téglalap vagy négyzet alakú régió - részhalmaza a komplex síkban. Az iteratív folyamat addig folytatódik, amíg a Z [i] nem lép túl a körön 2, amelynek középpontja a (0,0) pont, (ez azt jelenti, hogy a attraktorának a dinamikai rendszer a végtelenben), vagy azt követően egy kellően nagy számú iteráció (például 200-500) Z [i] konvergál valamely pont a kör. Attól függően, hogy az iterációk számát, amely alatt Z [i] maradt belső kerületén, lehetőség van a szín pontja a C (ha Z [i] még mindig a körön belül egy kellően nagy számú iteráció, az iteratív folyamat leáll, és ez a raszter ponttal festett fekete színű) .
4. ábra ábrázolja a határ a Mandelbrot kibővített 200 Paz.
A fenti algoritmus egy közelítését adja az úgynevezett a Mandelbrot-halmaz. Mandelbrot-halmaz tartozik lényeg, hogy a végtelen számú iteráció nem megy a végtelenségig (pontok, melyeknek fekete színű). A pontok tartozó határán a set (vagyis ahol van egy összetett szerkezet) megy a végtelenségig egy véges számú iteráció, és a pontokat fekvő kívül meg megy a végtelenbe néhány iteráció (fehér háttér).
2.3 sztochasztikus Fractals
Egy másik jól ismert csoportját a fraktálok sztochasztikus fraktálok, amelyet akkor nyerünk, abban az esetben a iteratív folyamat véletlenszerű változás bármely a paraméterei. Ez adja a tárgyak igen hasonlít a természetes - kiegyensúlyozatlan fák, strapabíró tengerpartok, stb Kétdimenziós sztochasztikus fraktálok használják a szimuláció a terep és a tenger felszínén. [2]
Vannak más osztályozási fraktálok ilyen felosztás determinisztikus fraktálok (algebrai és geometriai) és nem-determinisztikus (sztochasztikus).
3. iterált függvény rendszer