Népszerű előadások matematika könyvek
Az igazolás Euler-tétel egy tetszőleges poliéder néz F1 és vele szomszédos szélén a sor F2. Hangsúlyozzuk, hogy ez a pár arcok csatlakoztatott határértékek (m. E. áll egy darabból) nonselfintersecting kontúrok a szélei ezeknek a felületeknek. Válassza ki a harmadik aspektus F3. amely a szomszédos ez a pár által csatlakoztatott darab szaggatott vonal álló bordák (ábra. 21). Nem nehéz belátni, akkor mindig. Ezután a határ a trojka ezeknek a felületeknek is csatlakozik nonselfintersecting kontúrok. Könnyen azt mutatják, hogy a már kiválasztott élek is csatlakozott egy negyedik aspektus, majd az ötödik, és így tovább. E. Ahhoz, hogy megkapjuk a következő lépés, egy sor arcok F1. F2. Fi korlátozódott kapcsolatban nonselfintersecting kontúrok.
Számlálása Euler jellemző poliéder fogják szüntetni. Az első szakaszban hozzájárulást arcok F1 Euler jellemző, azaz. E. A csúcsok száma a mínusz száma az éle (azonos), plusz az arcok száma (ebben az esetben egyenlő 1), 1-gyel egyenlő, kiegészítve egy új arcot F2. adjunk hozzá egy sor új csúcsok, vonjuk ki a számát (kisebb csomópontok száma egységenként) új éleket és hozzáadja egy megfelelő az új arc. Ennek eredményeként, a hozzájárulás az Euler jellemző a második fázis nulla. Mivel csatlakoztatható minden egyes szakaszban van kötve, hogy az előző arcok közös határa formájában egyetlen csatlakoztatott sokszög, majd minden egyes lépés (kivéve az utolsó), a számos új csúcsok eggyel kevesebb, mint a számos új élek. Ezért, minden lépésben kezdve a második egészen az utolsó előtti, nulla hozzájárulás az Euler jellemző. Joining utolsó oldalán nem ad semmilyen új csúcsok, vagy új éleket, hozzátéve, hogy az Euler jellemző a meglévő egymástól megfelelő utolsó oldalának. Így, az utolsó lépésben megkapjuk az Euler jellemző poliéder egyenlő 2.
Euler-tétel nagy jelentősége van a geometriában. Ez a tétel vezetett egy új irányt a matematika --- topológia. Euler jellemző nem függ a hossza az élek vagy a terület az arc, sem pedig bármely poliéder sarkok. Euler jellemző értéke 2, függetlenül attól, hogy van egy konvex poliéder, vagy sem. --- a fő felülete poliéder volt lyukak, és „hasonló” a gömb, és ne a kereten (22.). Polyhedron, „hasonló” a keret, az Euler jellemző értéke 0.
Általános Euler-tétel
Gyengén konvex poliéderek
Mint tudjuk, a Cauchy-tétel bebizonyosodott csak abban az esetben szigorúan konvex poliéderek és a hamis nem konvex poliéderek. Általánosítása Cauchy-tétel nem szigorúan konvex poliéder azonnal adódik a következő, önmagában nagyon érdekes tétel.
Tétel (Aleksandrov). Adott két, általában nem szigorúan konvex poliéder az azonos típusú kombinatorikus. Ha a megfelelő szögek lapos arcok egyenlő, a diéderes szögek a megfelelő széleken egyenlő.
Figyeljünk arra, hogy a gyengén konvex poliéder, de ezek az élek és csúcsok is vannak fiktív élek és csúcsok. Fiktív borda lazán konvex poliéder --- ez az él, ahol a torziós szög egyenlő. --- dummy csúcs a csúcs, amelyre az összeget a megfelelő sík szöge egyenlő 2. Sokoldalú dummy csúcsszög a diéderes szög (csúcs A ábra. 31), amely különösen lehet degenerált síkban (csúcs ábra B. 31). A tetején a dummy tud olvadni vagy két ilyen élek, vagy egyik sem. Mivel a térbeli szög csökken egy dummy vertex diéderes, akkor ezek a szélek alkalmasak hozzá, kell lennie egy egyenes vonal, és a folytatása egymással (AC, AD széle ábrán. 31).
Let két poliéder M és M „feltételeknek megfelelő tétel. Amint a tétel bizonyításában Cauchy tájékoztatják minden éle a poliéder M „+” jel, ha a torziós szög szélén nagyobb, mint az a szög, a megfelelő szélén a poliéder M”. vagy „-” jel, ha a torziós szög kisebb.
Tekintsük száma jel megváltozik, amikor áthaladó csúcsot. Hagyja, A és A „--- mindenkori csúcsot. Mivel a csúcs az igazi különbözik a bábu úgy, hogy az összeget a megfelelő sík szögek szigorúan kisebb, mint 2. és, a hipotézis, minden oldalról megfelelő síkbeli poliéder egyenlő, a csúcsok A és A „mind valós vagy fiktív. Ha ezek a csúcsok valódi, akkor a 2. Lemma, mint már tudjuk, hogy hány jel átvált az elmozdulási amelyek mindegyike akár egyenlő 0 (ha nincs egyik szélén egy jel A nem megfelelő), illetve nem kevesebb, mint 4.
Vegyük azt az esetet, amikor a vertex és A „dummy. Két lehetőség van:
1) között, az élek, amelyek megfelelnek a két csúcsot igaz élek, és ahol az egyik ilyen élek a végén egy megfelel a dummy borda végződő A „;
2) Minden egyéb esetben, azaz a. E. Ha legalább egy ilyen csúcs nincs valós vagy valódi bordák bordák mind a tetejét, és megfelelnek egymásnak.
Megmutatjuk, hogy az 1. esetben) száma jel, mikor áthalad csúcsokat 4 változás, abban az esetben a 2) csúcs kizárhatók számítva az összes jel változik.
1. eset). Tegyük fel, hogy mindkét színlelt csúcsokat A és A „jelentése alkalmas ezek a szélek (ezek lehetnek csak két). Jelöli a1. a2 valódi élek egy vertex A. keresztül b'1. b'2 --- igaz bordák, alkalmas a felső, neki megfelelő (32.). Emlékezzünk, hogy ezek a bordák, alkalmas a fiktív felső, fekszenek egy egyenesen, és kölcsönösen erősítik egymást. Ezért, ha ez az él a2 felel dummy borda a'2. és a második szél A1 ez is megfelel a dummy borda a'1. Ezért, a hátsó élek jelen b'1 és b'2 M „megfelelnek a dummy bordák B1. b2 M. Ezért a jelek a szélek a1. b1. a2. B2 "-", "+", "-", "+", ill. Mivel minden más élek, csúcsok alkalmas adatokat (ha van ilyen), ál, már abban az esetben 1) pontosan négy jel változást, amikor áthaladó csúcsok A.
2. eset) van osztva három al-ügyek:
2a) A., sem, sem „nem egyezik az egyik borda;
2b) ezeket a bordákat jelenleg csak egyikük;
2c) ezekben a bordákban rendelkezésre állnak mind a fiktív csúcsok, és ezek megfelelnek egymásnak.
Case 2a). Ezeknek a bordák sem A.”. A megfelelő diéderes szögek (mindegy) egyenlő. Így mind a felső és az összes alkalmas élek hozzá belül vannak néhány metszettel e, és lehet hagyni.
Olyan esetek, 2b) és 2c). Legyen egy fiktív csúcsából alkalmas jelenleg él a1. Következésképpen, ez a felső alkalmas mind jelen szélén a2. amely folytatása borda a1. Ezután esetén 2b) az összes élek, alkalmas egy”. legyen hamis. Továbbá, könnyű megérteni, hogy a megfelelő bordák és a'1 a'2 is kiegészítik egymást. Ezért tudjuk dobni a tetején az A és A”. valamint minden konvergálnak őket, kivéve a bordák a1. a2. a'1 és a'2. mi párosítani a két széle: A1A2 és a'1a'2. A jel az új él A1A2 megegyezik, hogy a nyers élek A1 és A2 (ábra. 33).
Abban az esetben, 2c) a'1 és a'2 bordák is jelen, és kiegészítik egymást. A fennmaradó dummy bordák. Ezért, mint abban az esetben, 2b), lehetséges, hogy megszüntesse a két pont A és A „és az összes bábu bordák, alkalmas a számukra. A bordák és az A1 és A2 szögekkel, A'1 és a'2 feküdni egy vonal, és az élek az A1 és A2. ráadásul ugyanaz a jel. Ezeket kombinálni lehet egy új, nagyobb ig és A1A2 rendre a'1a'2. és tulajdonítható, hogy a első közülük megfelelő jelet (ábra. 34).
Így a dummy vertex engedelmeskedik 2) eset, és a belépő számukra extra dummy bordák is hagyható. Egy pár bal oldali bordák, volt része a fiktív vertex, kombinált egyik szélén, amely el van látva közös a régi ismerős bordák. Ezért, ha M a poliéder élei vannak jelölve, amikor áthalad a fennmaradó csúcspontok (csúcspont valós vagy fiktív csúcs esetén 1) a) legalább négyszer váltott jel. De ez ellentmond Lemma 1, mely szerint létezik egy csúcsból száma megjelölés változások nem nagyobb, mint 2 Lemma 1 kiszerelve konvex poliéderek. Sőt, amint azt annak bizonyítéka, hogy ez igaz minden poliéder, amelynek Euler jellemző értéke 2. Ez az ellentmondás bizonyítja az állítást.
1 Leonhard Euler (1707, Basel, Svájc - 1783, Szentpétervár) - ragyogó matematikus, több mint 30 éve Szentpéterváron, tagja a szentpétervári Tudományos Akadémia tagja.
Ez a látszólag nyilvánvaló nyilatkozat (az úgynevezett Jordan-tétel) nem könnyű bizonyítani. Az is igaz, a sík és a gömb. Itt például, hogy nem közvetlenül a felszínen egy tórusz. Ábra. A 25. ábra egy zárt útvonalon a tórusz feltörése nélkül a felület egy tórusz egymástól.