A távolság pont vonal - studopediya
Nyilvánvaló, hogy ha. Ugyanakkor, hol. kapjuk:
Folytonosság és diszkontinuitás típusok.
Ha valamelyik határérték nem létezik, akkor azt mondjuk, hogy a függvénynek folytonossági hiány ezen a ponton. Háromféle szünetek.
1) Az eldobható szakadás. ha van, de.
Példa. Mi kiterjeszteni a függvény értékét. Azóta a függvény nem folytonos a ponton. Azonban a változó értékét minden funkció egy ponton, megkapjuk eredményeként egy folytonos függvény, ezért van, hogy áthidalja a szakadékot.
2) Szünet az 1. fajta. Ha van egy határ a bal és jobb oldali korlát, de azt mondják, hogy a funkció az első fajta egy kis szünetet a lényeg.
Példa. Tekintsük az pont. van
Ha a határ másik jele:
Így, a lényeg pont az diszkontinuitás elsőrendű funkciókat.
3) Minden más törések tartják törések a 2. fajta.
Ha, akkor. Ha, akkor.
2. példa ,. Ha ez is sikertelen, akkor. Ha, de aztán. Így nincs korlátozva (jobb vagy bal oldali) a függvény a ponton nem.
Definíció. A szám az úgynevezett származékot egy függvény egy olyan ponton, ha van egy határ
(Limit az arány a növekmény függvény egy olyan ponton, hogy a növekmény az érvelés).
A származékot kijelölt akár.
A keresztmetszet grafikai (összekötő vonal pontok és) frakció egyenlő egyenes meredeksége
Ott jelöli koordinátáit metsző pont a jelenlegi. Így, azt mutatja, hogy finoman (simán) változik a szelő.
Definíció. Az érintő a függvény grafikonját a ponton van, a határ helyzetét metsző.
A definíció következik, hogy az egyenlet az érintő ott
A geometriai jelentése a származék az a tény, hogy ez a lejtőn a érintő a függvény grafikonját a ponton.
A fizikai értelmében a származék. Tegyük fel, hogy van egy idő, amely alatt az anyag pont mozog egy egyenes mentén, a távolság egy referencia pont. Akkor a függvény a törvény a mozgás, és meghatározza a változás feletti helyzetben időpontokban.
Ebben az értelmezésben van a távolság, amelyet az anyag időpontban. Ezért a frakció átlagsebesség az idő. Átadás a határ, azt találjuk, hogy van egy pillanatnyi sebességét le a törvény. Ez a fizikai jelentése a származék.
A legegyszerűbb tulajdonságok származékok.
Tulajdonságok korlátok határozzák meg a következő tulajdonságokkal származékok.
2) egy tetszőleges konstans.
3) Ha a származék egy ponton létezik, folytonos ezen a ponton.
-Származékok definíció szerint.
A hossza a megtett távolságot, egyrészt, másrészt viszont a (az ív hossza). ezért
A funkció fordítottja, nem lehet kifejezni elemi funkcióit. Ezért egy explicit ábrázolása szintén nem kapott az osztály elemi függvények.
Legyen egy parametrikus ábrázolását a funkciót.
Bizonyítás. Hagyja, - a funkció fordítottja. Akkor miért
A tétel a derivatív az inverz függvény van, ahol. ezért
A származék egy implicit függvény.
Néha lehet meghatározni egy függvény implicit egyenlet az, amely változó tényezőtől függ :.
Ebben az esetben azt mondjuk, hogy a függvény implicit.
1. példa. Û .
Ugyanakkor kifejezetten nem mindig kifejezetten a funkciót elemi függvények.
Tegyük fel, hogy az a pont tartozik a sor megoldást (azaz), és hagyja, hogy a - valamilyen funkciót kielégítő. Hogyan lehet megtalálni a származékos? A legegyszerűbb módja, hogy megkülönböztesse a személyazonosságát, és gondoskodjanak arról, hogy a származék tartalmazza a kapott kifejezés lineáris, megtalálják az értéket.
1. példa folytatódott.
Különösen, ha
Ellenőrző :, Amikor megkapjuk.
Definíció. Egy pont az úgynevezett lokális minimum funkció, ha minden egyes intervallum, a kapcsolat
Ha az egyenlőtlenség helyébe a következő egyenlőtlenség, akkor a pont az úgynevezett egy pont a helyi maximum függvényében.
Fermat-tétel. Tegyük fel, hogy a funkció határozza meg egy bizonyos intervallumon és differenciálható ezen a ponton. Aztán, ha ez egy lokális minimum vagy maximum egy függvény, akkor
Bizonyítás. Tegyük fel, hogy határozottságot egy lokális minimum egy függvény. Annak megállapítására, a függvény deriváltját a ponton, úgy a határt a jobb:
A számláló pozitív érték, mivel a feltételezés. A nevező pozitív, így ,. Mi most úgy a határ a bal oldalon.
A számlálóban még mindig megér egy pozitív érték, és a kifejezést a nevező már negatív, ezért ,. De aztán. QED
Weierstrass tétel (bizonyítás nélkül). Folytonos függvény definiált intervallumon, eléri a minimum és a maximum.
Rolle-tétel. Tegyük fel, hogy a függvény folytonos és differenciálható minden pontján az intervallumban. Ha, akkor van egy pont az intervallumot, amelyben.