Normálosztó
feszültség úgynevezett belső automorfizmusa a G csoport, által generált elem g.
94. Bizonyítsuk be, hogy a belső automorfizmus csoport izomorfizmus az.
95. Mi a háromszög reflexió képest a magassága alatt az összes lehetséges belső automorfizmusa a csoportja a szimmetria a háromszög?
96. a háromszög, hogy a forgás által 120 ◦ mindenféle belső automorphisms a csoportja a szimmetria a háromszög?
97. Melyik 2 szimmetriacsoportja Tetrahedron tagja lehet lefordítani egymással belső automor
és melyeket nem? Ugyanezt a kérdést a csoport fordulatok a tetraéder.
98. Bizonyítsuk be, hogy a megrendelések az elemek ab és ba egyenlő minden csoportban.
Vegye figyelembe, hogy legalább a belső automor csoport (bármely izomorfizmus) minden egyes alcsoportja kapcsolók az alcsoportjában, általában elmondható, egy másik (például, reflexiók azonos magasságban a háromszög vált a reflexió a másikhoz képest magasság). Azonban néhány „különösen szimmetrikus” alcsoportok a helyén marad minden belső automorfizmusok (például, az alcsoport a forgatások a háromszög a csoportja a szimmetria a háromszög). Az ilyen alcsoportok most úgy.
O p e n d e n n e. A alcsoport úgynevezett normál csoportok alcsoporthoz ha végbemegy minden belső automorfizmus csoportja. Más szavakkal, egy alcsoport a G csoport N nevezzük normális részcsoport G, ha bármely elem egy, az N és bármely elemének g G -1 gag-elemet N.
Így, az alcsoport a forgások normális a szimmetria csoport a háromszög, és az alcsoport a reflexiók relatív magasságát csökkentjük egy csúcsa a BC oldalán (a két elemből álló) normális részcsoport szimmetria a háromszög nem.
99. Bizonyítsuk be, hogy minden alcsoport kommutatív csoport egy normális részcsoport.
100. normális alcsoportja szimmetria egy négyzet központi szimmetriatengely alcsoportját elemekből álló (példák 3, 4, oldalt 17 -. 18)?
Azok a 2. Tétel A alcsoport N G egy normális részcsoport akkor és csak akkor, ha a bal oldali
és jobb expanziós (lásd. § 8) az alcsoport G N * egybeesik).
101. Annak bizonyítására, a tétel fogalmazott.
102. Legyen N - sorrendben a G csoport, m - sorrendben az alcsoport H és m = n / 2. Bizonyítsuk be, hogy a szokásos H egy alcsoportja G.
103. Annak bizonyítására, hogy a kereszteződés (lásd. Lábjegyzet. 28) bármely alcsoportja egy normális G csoport egy alcsoportja normál G.
104. A készlet elemei G, közlekedhetne az összes elemet a csoport, az úgynevezett központja G. Igazoljuk, hogy a központ - egy alcsoport, és ráadásul, normális részcsoport G.
105. Legyen n 1 és N 2 - Normálosztó G csoport 1, és G 2. igazolja, hogy az N 1 × N 2 - normális részcsoport G 1 × G 2.
A következő példa azt mutatja, hogy egy normális alcsoportja normális részcsoport G nem lehet normális részcsoport a csoport G.
Példa 11. példa Tekintsük az alcsoport szimmetria egy négyzet álló reflexiók középpontjához képest, és az átlók (lásd a példákat a 3., 4., oldalak 17 - .. 18. alcsoport). Ez az alcsoport tartalmaz fele az elemek a csoportja a szimmetria a tér, és ezért
normális részcsoport ott (lásd. 102). Egy alcsoportja, amely a reflexiók viszonyított egyik átlójának, amely fele elemei az alcsoport, és ezért normális részcsoport ott. Másrészt, az alcsoport nem normális alcsoport egész csoport szimmetria egy négyzet, mivel a belső automorfizmusok d belép a reflexió
*) Ebben az esetben, a keletkező bomlási lesz a továbbiakban egyszerűen, mint egy expanziós a normál alcsoportban.
viszonyítva a másik átló: bdb -1 = f.
§ 11. A hányados
Kezdjük egy példát. Tekintsük a bomlási egy négyzet szimmetria-csoport a normális részcsoport álló, a központi és a szimmetria e egy (lásd a példákat a 3., 4., oldalak 17 - .. 18). Könnyű hozzájutni, hogy a bővítés a mi csoport 4 szomszédos osztály formában van a táblázatban látható. 2.
Ta b l e 2. ábrákon egyes mellékosztály Ka Coy írni, például, E, A, B, C
az eredmény az azonos osztályba C függetlenül mely elemei osztályok A és B venni. A megoldás a következő probléma ez azt jelenti, hogy ez nem véletlen.
106. hagyja van egy bomlása a G csoport a normális részcsoport N, és hagyja, hogy az elemek x 1 és x 2 ugyanabban mellékosztály és elemek y 1 és Y 2 is ugyanabban mellékosztály. Igazoljuk, hogy az elemek x 1, y 1 és x 2 y 2 hazugság ugyanabban mellékosztály.
Így, figyelembe reprezentatív két szomszédos osztályok és megszorozzuk őket egy bizonyos sorrendben, akkor esik a szomszédos osztály, amely nem függ melyiket választottuk képviselői. Következésképpen, ha a bomlás a normál alcsoport N a sor kapcsolódó osztályok meghatározza a művelet a következő: Ha A = xn, B = yn, állítunk be · B = (xy) N. Eredmény feladat 105 azt jelzi, hogy ezt a műveletet egyedileg meghatározott és nem függ a választott x és y, generáló cosets A
és B. Így a fenti példában, A · B = C
A problémák beszélünk 107-109 bővítések normális részcsoport.
107. Legyen T 1. I 2. T 3 - kapcsolódó osztályok. Bizonyítsuk be, hogy
(T 1, T 2) T 3 = T 1 (T 2 T 3).
108. Legyen a normális részcsoport betűvel jelölt E. Bizonyítsuk be, hogy az ET = T E = T bármely mellékosztály.
109. Igazoljuk, hogy bármely mellékosztály T -1 létezik egy T osztály olyan, hogy T = T -1 T -1 T = E.
Állítások feladatok 107-109 azt mutatja, hogy több cosets a művelet a fent leírt csoportot alkot. Ez a csoport az úgynevezett hányadosa csoport G a normál alcsoport N, és jelöljük G / N.
Egyértelmű, hogy a G / G és G / G <>. nyilvánvalóan úgynevezett
ugyanaz, mint a sorrendben a hányados egy természetes szám n / m, ahol n - a sorrendben a G csoport, és m - a sorrendben a normális részcsoport N. Például, a hányadosa négyzet szimmetria az alcsoport a központi elem 4 tartalmaz szimmetria.
110. Annak kiderítésére, hogy a hányadosa csoportja a szimmetria és a négyzet alcsoportjában központi szimmetria izomorf a tér a forgási vagy szimmetria csoport rombusz.
111. összes Normálosztó és osztás *) rájuk a következő csoportok: a) szimmetriacsoportja
háromszög, b) Z 2 × Z 2. c) egy négyzet szimmetria-csoport, R) egy kvaterniócsoport (p. 125).
112. leírják az összes Normálosztó és hányadosa csoportok számukra: a) Z n. b) Z.
113. összes Normálosztó faktor és azokat a csoport fordulatok a tetraéder.
114. A közvetlen terméke a csoportok G 1 × G 2, úgy az alcsoport G 1 ×. Ez azt bizonyítja, hogy ez egy normális részcsoport, és hogy izomorf a hányados G csoport 2.
§ 12. A kommutátor
Emlékezzünk, hogy a két elem a és b a G csoport nevezzük
kommutációs (vagy váltás), ha AB = BA. Degree nemkommutativitÆsÆt két csoport elemek segítségével mérni lehet munkák aba -1 b -1. amely egyenlő egy, ha, és csak akkor, ha a és b permutable (Igazoljuk).
O p e n d e n n e. Aba -1 b -1 elem úgynevezett kapcsoló elem és b. Kommutátor K (G) G
az összes lehetséges termék véges számú kapcsoló csoportok G.
*) A jövőben megtalálni azokat az eszközöket, hogy meghatározza az a tényező tartozik egy csoportba, a korábban tárgyalt, ami a kívánt hányadosa izomorfak.
115. Bizonyítsuk be, hogy a kommutátor alcsoportja.
116. Bizonyítsuk be, hogy a kommutátor egy normális részcsoport.
117. Igazoljuk, hogy a kommutátor egybeesik az alcsoport, és csak akkor, ha a csoport commutes.
118. Ide kommutátor Csoport: a) szimmetria a háromszög, b) a szimmetria a tér, c) a csoport a négyes (125. oldal) ..
119. Igazoljuk, hogy a kommutátor a szimmetria csoport szabályos n-szög izomorf a Z csoport n, ha n páratlan,
és a Z csoport n / 2, ha n páros.
120. Keresse kommutátor egy csoportban a forgások a tetraéder.
121. Annak bizonyítására, hogy ha a normál alcsoport fordulatok vagy szimmetriák tetraéder csoportot tartalmaz legalább egy forgási tengely körül áthaladó apex, ez tartalmazza az összes forgatások a tetraéder csoport.
122. Ide kommutátor a szimmetria csoportja a tetraéder. Nézzük meg a két csoport: a csoport forgatások a kocka és grup-
ny forgatások egy szabályos oktaéder (ábra. 7).
123. Hány eleme minden ilyen csoportokat? Lista elemeinek fordulatok a kocka.
124. Bizonyítsuk be, hogy a csoport a forgatások a kocka és az oktaéder izomorfak.
125. Hányféleképpen lehet festeni az arcát a kocka 6 színben (minden arc más színű), ha figyelembe vett különböző színezés, amelyet nem lehet kombinálni egymással elforgatásával a kocka? Ugyanez a kérdés a gyufásdoboz.
126. Milyen híres csoport izomorf a csoport