A sajátértékek és sajátvektorok lineáris operátor
A sajátértékek és sajátvektorok lineáris operátor. szabály
Definíció. X → ≠ 0 →. A x → = λ x →> \ nem =>: A> = \ lambda >>. ahol x - egy szám, amely az úgynevezett egy sajátvektorának és λ - jellemző érték.
A x → = λ x →. A x → = μ x → ⇒ 0 → = (λ - μ) x → ⇒ λ = μ> = \ lambda>, A> = \ mu> \ Rightarrow> = (\ lambda - \ mu)> \ Rightarrow \ lambda = \ mu> - minden sajátvektor sootvetstveut egyedüli ingatlan értékét.
F A (λ) = d e t (A e - λ E) - \ lambda E \ right)> - haraktirestichesky polinom üzemeltető A.
A feltétel sajátvektorok: F A (λ) = 0 - Har-e-ur e (. Λ 1. ... λ n, \ dots, \ lambda _> - gyökerek ur I helyettesítő és megtalálja a saját vektorok).
Tétel a harakteresticheskogo polinom független a választott alapon. \\ d e t (A e - λ E) = d e t (A f - λ E) - \ lambda E \ right) = det \ balra (a _- \ lambda E \ right)>
det (A f - λ E) = det (T - 1 A e T - λ E) = det (T - 1 A e T - T - 1 (λ E) T) = det (T - 1) det (A e - λ e) det (T) = det (A e - λ e). - \ lambda E \ right) = det \ bal (T ^ A_T- \ lambda E \ right) = det \ bal (T ^ A_T-T ^ (\ lambda E) T \ right) = det (T ^) det ( Egy _- \ lambda E) det (T) = det (A _- \ lambda E).>
Tulajdonságainak szerkesztése sajátvektorok
- x → >> - sajátvektorának A. után szorzással bármennyi nem nulla, ismét van saját vektor.
- ha x → 1> _> és X → 2> _> - két sajátvektorai megfelelő sajátérték λ. akkor bármilyen lineáris kombinációja α x → 1 + β x → 2 ≠ 0 →> _ + \ beta> _ \ nem = >> - ismét egy sajátvektor.
- ha λ 1 .... λ k, \ pontok, \ lambda _> - harakteresticheskie gyökerek, a λ i ≠: X- J \ nem = \ lambda _>, ha i * j. minden szükséges saját vektor lambda 1 → x → 1 λ 2 → x → 2. ... \ rightarrow> _, \ lambda _ \ rightarrow> _, \ dots>. A rendszer x → 1 .... x → k> _, \ dots,> _> lineárisan függetlenek.
k = 1 - igaz, mert sajátvektor nem lehet nulla.