Hullámegyenlettel 1
Abban az esetben, hogy a hullám terjed homogén közegben, állásfoglalásra általánosan leírták a hullám egyenlet (differenciálegyenlet részleges származékok):
ahol a $ v $ - fázissebesség $ \ háromszög = \ frac ^ 2> + \ frac ^ 2> + \ frac ^ 2> $ - Laplace operátor. Megoldás A (1.2) van a egyenlet bármilyen hullámegyenlet megfelelnek az adatokat, például, és a lapos és gömb alakú hullám.
Ha síkhullámú terjed tengelye mentén $ X $, akkor az (1) egyenlet felírható:
Ha a fizikai mennyiség oszlik, mint egy hullám, akkor feltétlenül teljesíti a hullám egyenlet. Ennek az ellenkezője igaz: ha - vagy értéke engedelmeskedik a hullám egyenlet, úgy terjed, mint egy hullám. A hullám terjedési sebessége egyenlő a négyzetgyöke az arány, amely áll egy összege térbeli deriváltak (ebben a formában a felvétel).
A hullám egyenlet játszik nagyon fontos szerepet a fizikában.
Megoldás a hullám egyenlet síkhullámú
Mi írjuk az általános megoldás egyenlet (2) egy könnyű hullám terjesztő vákuumban, ha s skalárfüggvény függ csak az egyik derékszögű változók, például a $ z $, azaz $ s = s (z, t) $, ami azt jelenti, , $ s $ függvény konstans értéke pontok síkban, amely merőleges a $ Z $. A hullám egyenletet (1) ebben az esetben válik:
ahol a fény sebessége vákuumban egyenlő $ c $.
Az általános egyenlet megoldása (4) meghatározott feltételek mellett ez a kifejezés:
ahol a $ s_1 \ left (z + ct \ right) $ - függvényében leíró hullám tetszőleges alakú, amely sebességgel mozog $ c $ negatív irányban képest a tengelyre $ Z $, $ s_2 \ left (Z-ct \ right) $ - függvényében leíró hullám tetszőleges alakú, amely sebességgel mozog $ c $ a pozitív irányba képest a tengelyre $ Z $. Meg kell jegyezni, hogy a folyamat halad értékek s_1 $ $ és $ $ s_2 bárhol a hullám és hullám formája változatlan marad.
Kiderült, hogy hullám, amely leírja a szuperpozíció két hullám (képlet szerinti (5)). Sőt, ezek a komponensek a hullámok mozgó ellentétes irányban. Ebben az esetben nem tudjuk beszélni a sebességét és irányát a hullám. A legegyszerűbb esetben, állóhullám. Általánosságban elmondható, hogy figyelembe kell venni a komplex elektromágneses mezőt.
A hullám egyenletet és a Maxwell-egyenletek
A hullám egyenletet az oszcilláció vektorok az elektromos mező és a mágneses tér vektor a mágneses indukció könnyen előállítható a Maxwell egyenletek differenciális formában. Írunk a Maxwell-egyenletek az anyag, ahol nem szabad töltések és áramok vezetőképesség:
Alkalmazza a művelet rothadás $ $ a (7) egyenlet:
A kifejezést (10) sorrendje megváltoztatható a differenciálás a jobb oldalon a kifejezés, mint a térbeli koordinátáit és az idő - a független változók, ezért van:
Figyelembe vesszük a (6) egyenlet, cserélje $ rothadás \ overrightarrow a $ (11) a jobb oldalon az (6), van:
Tudva, hogy a $ rotrot \ overrightarrow = graddiv \ overrightarrow- ^ 2 \ $ overrightarrow, és a $ div \ overrightarrow = 0 $, megkapjuk:
Hasonlóképpen állíthatjuk elő a hullám egyenlet a mágneses indukció vektor. Ez a forma:
A kifejezések (13) és (14) a fázis sebessége a hullám terjedési $ (V) $ jelentése:
Feladat: Szerezd meg az általános megoldást a hullám egyenlet $ \ frac ^ 2s> - \ frac \ frac ^ 2s> = 0 (1.1) $ sík fény hullám.
Bemutatjuk a független változók formájában függvény $ s $:
\ [\ Xi = Z-ct, \ \ eta = Z + ct \ bal (1,2 \ jobbra). \]
Ebben az esetben a parciális deriváltja $ \ frac $ jelentése:
A parciális deriváltja $ \ frac $ jelentése:
Kivonás távon távú expresszió (1.4) a (1.3), van:
Termwise túlmenően kifejezések (1.4) és (1.3) hozama:
Keresse meg a terméket a bal oldalán a kifejezést (1.5) és (1.6), és figyelembe veszi a rögzített eredmények jobb oldalán ezen kifejezések:
Ha integrálja a kifejezés (1,7) a $ \ xi $, megkapjuk, hogy a funkció nem függ a változó értékét, és csak attól függ, $ \ eta $, ami azt jelenti, hogy egy tetszőleges függvény $ \ Psi (\ eta) $. Ebben az esetben az egyenlet (1,7) formájában:
Mi integrálja (1.8) a $ \ eta $, van:
ahol a $ s_1 \ left (s \ right) $ - primitív, $ s_2 \ left (\ xi \ right) $ - állandó integráció. Sőt, a funkciót s_1 $ $ és $ s_2 $ - önkényes. Figyelembe véve a kifejezéseket (1.2), az általános megoldás (1.1) egyenlet a következőképpen írható fel: