2-én előadás
1. előadás. rezgés
Általános információk a rezgéseket. Kis rezgések. Komplex számok. Másodrendű lineáris differenciálegyenlet a
Szabad rezgések rendszer súrlódás nélkül. Harmonikus rezgések. Az amplitúdó, frekvencia és fázis oszcillációk. Az energia, a harmonikus rezgés. Matematikai és fizikai ingával.
Általános információk a rezgések
A fluktuációk egy olyan folyamat, amelyeket a bizonyos fokú ismételhetőség. Ez a tulajdonság van visszatér, például, a swing a inga óra, rezgő húr vagy villaágak, a feszültséget a kondenzátor lemezeket a rádión, és így tovább. N.
Attól függően, hogy a fizikai természetét iteratív folyamat megkülönböztetni rezgések: .., mechanikus, elektromágneses, elektromechanikus, stb Ebben a fejezetben vizsgálja a mechanikai rezgéseket.
A rezgés elterjedt a természetben és a technológia. Sok esetben ezek a negatív szerepe. Ingadozások híd eredő sokk, ő számolt vonat kerekei, amikor áthalad a vasúti ízületek, rezgés (vibráció) a hajótest által okozott forgó propeller, a gép rezgése a szárnyak - minden folyamat vezethet katasztrofális következményekkel járhat. Ezekben az esetekben a célja, hogy megakadályozza rezgések vagy legalábbis megakadályozzák a rezgéseket, hogy elérje a veszélyes méreteket.
Azonban rezgési folyamat középpontjában a mérnöki tudomány számos ágában. Például alapján rezgési folyamat összes rádiós technológia.
Attól függően, hogy a természet a hatást gyakorolt a rezgő rendszer megkülönbözteti a rendelkezésre álló (vagy saját) rezgések kénytelen rezgések, lengések és parametrikus oszcilláció.
Szabad vagy saját azok ingadozások, amelyek a rendszerben előforduló, magára maradt, miután azt közölte, hogy álljon, vagy lekerült a egyensúlyi helyzet. Példák az ingadozások a labdát felfüggesztve huzal (az inga). Annak érdekében, hogy vibrációkat, akkor sem nyomja a labdát, akár félrelökve, elengedte azt.
Az ilyen rezgések nevezzük belsőleg, amely alatt az oszcilláló rendszer ki van téve egy periodikusan változó külső erő. Ennek egyik példája a híd rezgések során keletkező áthaladását az emberek menetelnek lépésben.
Self-rezgések, valamint kényszerrezgés kíséretében kitettség egy rezgő rendszer a külső erők, de amikor végre, ezeket a hatásokat tűzte oszcilláló rendszer - a rendszer maga szabályozza a külső befolyást. Példák magrészérzékelőtől rendszer órát, amelyben az inga kap sokkok miatt az energia felemelt vagy rugók sodrott, ezek a rázkódástól előfordulhat azokban a pillanatokban, amikor az inga áthalad a középső pozícióba.
Amikor parametrikus rezgések miatt a külső erő egy periodikus változása rendszer paraméter, például dlimy menettel, amelyhez a borda van függesztve, végrehajtja oszcillációk.
A legegyszerűbb a harmonikus rezgések, azaz. E. Az ilyen rezgések, amelyben fluktuáló értéke (például az eltérés az inga) időben változik szerinti szinusz vagy koszinusz. Ez a fajta rezgés különösen fontos a következő okok miatt: Először is, ingadozások a természet és a művészet gyakran van egy karakter, ami nagyon közel van a harmonikus, másrészt a kötegelt folyamat különböző alakú (a másik időfüggő) is képviselteti magát a szuperpozíció több harmonikus rezgések.
Tekintsünk egy rendszer, amely egy labdát m tömegű. felfüggesztett egy rugó (ábra. 162). Egyensúlyi állapotban, az erő mg egyensúlyban rugalmas erő k Δl0:
Mi jellemzi majd az elmozdulás a labda stabil egyensúlyi helyzete koordináta x. ahol az x tengely függőlegesen lefelé, és a nulla tengely kompatibilis a egyensúlyi helyzetben a labda. Ha mozog a labdát a stabil egyensúlyi helyzete egyenlő távolság x
(X - algebrai érték), a nyúlás a tavaszi egyenlővé válik Δl0 + x és a nyúlvány a eredő erő az x-tengely (jelölésük az vetülete írni f) lesz az értéket
Mivel az egyensúlyi állapot (62,1), azt találjuk, hogy
A „-” jel a képletben (62,2) azt a tényt tükrözi, hogy az elmozdulás és erő ellentétes irányba:
ha a labda elmozdul az egyensúlyi helyzetből lefelé (x> 0), az erő felfelé irányul (f <0), при смещении шарика вверх (х <0) сила направлена вниз (f> 0). Így, az F erő a következő tulajdonságokkal rendelkezik: 1) ez arányos az elmozdulás a labdát annak egyensúlyi helyzetben, 2) ez mindig irányul az egyensúlyi helyzet.
A fenti példában van ereje (62,2) lényegében rugalmas jellegű. Előfordulhat, hogy a hatalom a más eredetű felfedi ugyanazt a mintát, azaz a. E. Egyenlő -kx. ahol k - állandó pozitív értéket. Az erők ilyen jellegű, függetlenül azok jellegétől, az úgynevezett kvázi-elasztikus.
Annak érdekében, hogy megmondja a rendszernek az elmozdulás x. meg kell, hogy egy kvázi-rugalmas erő ellen dolgozik
Ez a munka megy létre potenciális energia tároló rendszer. Következésképpen, a rendszerben, amelyben a rugalmas erő hat, amikor elmozdul az egyensúlyi helyzet a potenciális energia „) távolságban X
(A potenciális energia az egyensúlyi helyzetben, hogy nullával egyenlő).
Egyenlet (62,3) egybeesik a kifejezést (27,13) a potenciális energia a deformált rugók.
Hivatkozással ismét az ábrán bemutatott rendszer. 162. X = elmozdulás, de értesíti labdát. és akkor adja magát a rendszert. Az erő hatására f = -kx labda mozog a egyensúlyi helyzet egyre gyorsabban v = x”. Ebben az esetben, a potenciális energia a rendszer csökkenni fog (ábra. 163), de ez lesz egyre nagyobb kinetikus energia Ek = mx „2/2 (tömeg rugó elhanyagolt).
Miután jön az egyensúlyi helyzet, a labda tovább mozog a tehetetlenség. Ez a mozgás lassú lesz, és leáll a mozgási energiát teljesen átalakul egy potenciális, azaz, ha a labda lesz egyenlő az eltolás .. (- a). Ezután ugyanez a folyamat alakul ki, amikor a labda mozog az ellenkező irányba.
„) Van, hogy feladja a kinetikus és potenciális energiája által használt megnevezések mechanika. A tanításait a rezgések a T betű jelöli időszak oszcilláció. A levél U molekuláris fizika jelöli belső energia a test.
Addition oszcillációk egy irányba. Vektor rajz. Veri. Addition egymásra merőleges rezgéseket.
Csillapodó rezgések. A csillapítási tényező. Logaritmikus csökkentéshez. A minőségi tényező a rezgő rendszer. Aperiodikus mozgás. Self-rezgések.
Grafikus ábrázolása a harmonikus rezgések. vektor diagram
Megoldás kérdésekben, különösen, kiegészítve néhány oszcilláció ugyanabba az irányba, egyszerűsödött és világossá válik, ha grafikusan ábrázolják a fluktuáció vektorok formájában a síkban. Az így kapott rendszert nevezzük phasor diagram.
Vegye tengely, amely betűvel jelöljük x (ris.171)
Pontból O hozott, és elhalasztja a vektor hossza tengelyen. képező tengellyel szöget α. Ha az eredmény vektor forgásba szögsebességgel ω0. A vetítés a végén a vektor mozog az x tengely mentén a tartományban -a a + a. és a koordináta-e vetítési idővel változni fognak a törvény szerint
Következésképpen, vége vetítési vektor ra tengelyre elvégzi harmonikus rezgés egy amplitúdó megegyezik a hossza a vektor, körfrekvencián egyenlő a szögsebessége a forgatás vektor, és a kezdeti fázis megegyezik a szögben, amelyet a vektor a tengelye a kezdeti időben.
Ebből következik, hogy a harmonikus rezgés segítségével lehet meghatározni egy vektor, amelynek hossza megegyezik a rezgési amplitúdó és a vektor irányát teszi az X-tengelyen egy szöge egyenlő a kezdeti szakaszban a oszcilláció.
Ezenkívül az azonos irányú lengés
Lehetnek olyan esetek, amikor a szervezet részt vesz több rezgések mentén előforduló azonos vagy különböző irányok mentén.
Ha például, lógott a tavaszi labdát a felső határ az autó, a rocker rugók, a labda mozgását képest a Föld felszínén áll a vonat rezgések képest a föld és az izzó oszcilláció képest a kocsi. Tekintsük a hozzáadásával két harmonikus rezgések azonos irányba és azonos gyakorisággal. Az elmozdulás X az oszcilláló test az összege az elmozdulások x1 és x2. amely felírható a következőképpen
Mindkettő rezgések vektorokkal A1 és A2 (ábra. 172). Építünk a szabályok szerint a vektor kívül, és a kapott vektort. Ez könnyen belátható, hogy a nyúlvány ezen vektor az x-tengely az összegével egyenlő a kifejezések a nyúlványok a vektorok:
Ennek megfelelően, a vektor a jelentése a kapott oszcilláció. Ez a vektor forgatjuk azonos szögsebességgel ω0. valamint a vektorok A1 és A2. így a kapott mozgás egy harmonikus rezgés frekvencia ω0. és amplitúdó, valamint a kezdeti fázis α. Az építési egyértelmű, hogy
Így a ábrázolása harmonikus rezgés vektorok hozzáadásával lehetővé teszi, hogy csökkentsék a rezgések több műveletének túlmenően vektorok. Ez a technika különösen hasznos, például, az optika, ahol a fény hullámai egy bizonyos ponton eredményeként meghatározott a szuperpozíció sok oszcillációk érkezik egy adott ponton és különböző részei a hullámfront.
Formulák (69,2) és (69,3), akkor biztos, hogy az összecsukható kifejezések (69,1) és végrehajtásáért a megfelelő trigonometrikus konverziót. De mi volna alkalmaznia Eljárás ezek a képletek több egyszerűség és egyértelműség.
Elemzése a kifejezés (69,2) az amplitúdó. Ha a fáziskülönbség a két rezgés α2 - α1 nulla, az amplitúdó a kapott oszcilláció összegével egyenlő az A1 és A2. .. Ha a fáziskülönbség α2 - α1 egyenlő + π vagy -π, azaz a két oszcillációk ki fázisban, az amplitúdó a kapott oszcilláció egyenlő | a1 - a2 |.
Ha x1 és x2 frekvenciájú rezgések nem egyenlők, a vektorok A1 és A2 fog forogni különböző sebességgel. Ebben az esetben a kapott vektort egy lüktető nagyságú és forog cserélhető sebesség. Következésképpen, az ebből lesz ebben az esetben nem egy harmonikus rezgés, és néhány bonyolult rezgési folyamat.
Különösen érdekes az az eset, amikor két összecsukható harmonikus oszcilláció ugyanabba az irányba nem különböznek frekvencia. Mint már azt mutatják, a kapott mozgás lehet tekinteni ilyen körülmények között, mint a
harmonikus rezgés egy lüktető amplitúdójú. Az ilyen rezgések nevezzük veri.
Jelölje gyakorisága oszcilláció a levél ω frekvenciája a második rezgési keresztül ω + Δω. Azzal a feltétellel Δω <<ω. Амплитуды обоих колебаний будем полагать одинаковыми и равными а. Поскольку частоты колебаний несколько отличны, всегда можно выбрать начало отсчета времени так, чтобы начальные фазы обоих колебаний были равны нулю. Практически это означает,
hogy meg kell várni, amíg az offset ingadozása mind megvalósítható, ugyanakkor a legnagyobb pozitív értéket, és abban a pillanatban „hogy indítsa el a stoppert.” Ezután mind a hullám egyenlet a következő lesz:
Hozzáadja ezt a két kifejezést, és a trigonometrikus képlet összege koszinuszok, megkapjuk:
(Második faktor elhanyagolt tagja Δω / 2 képest ω).
Ütemezés funkció (70,1) ábrán mutatjuk be. 173 is. A grafikon épített ω / Δω = 10.
faktor egyenlet (70,1) zárójelbe változik sokkal lassabb, mint a második szorzó.