konvex
Egy valós értékű függvény definiált egy bizonyos időközönként (általában egy konvex részhalmaza vektortérnek) konvex, ha bármely két érték az érvelés x. y és tetszőleges számú t ∈ [0 1] Jensen egyenlőtlenséget:
Ha ez egy szigorú egyenlőtlenség minden t ∈ (0 1) és x ≠ y. akkor a függvény az úgynevezett szigorúan konvex; Ha az inverz egyenlőtlenség, a funkció az úgynevezett konkáv. vagy felfelé konvex.
- A f. domború intervallumon I>. folytonos az egész I>. differenciálható minden I> kivéve legfeljebb megszámlálható pontok halmaza, és kétszer differenciálható szinte mindenhol.
- Bármely konvex függvény subdifferentiable (a subdifferential) a teljes domain.
- Egy konvex függvény átmegy bármely pontján támogatási hipersík annak epigráf.
- A folytonos f függvény konvex I> akkor és csak akkor, ha minden pont x. y ∈ I> egyenlőtlenség f (x + y 2) ≤ f (x) + f (y) 2> \ right) \ leq >>
- Folytonosan differenciálható konvex függvény egy változó intervallumban, ha és csak akkor, ha a gráf rejlik nincs alsó érintő (referencia hipersíkot) végeztük, hogy ez a táblázat bármely pontján az intervallum konvexitás.
- Konvex függvény egy változót a intervallum bal és jobb származékok; származékot a bal ≥ jobb származék; származéka konvex -, nem csökkenő függvény.
- Kétszer-differenciálható konvex függvény egy változó tartományban, ha, és csak akkor, ha a nem-negatív második derivált ebben az intervallumban. Ha a második derivált kétszeri differenciálható, szigorúan pozitív függvénye, ilyen funkció szigorúan konvex, de a fordítottja nem igaz (például, az f (x) = x 4> szigorúan konvex on [- 1 1], de a második deriváltja pontban x = 0 adni. nulla).
- Ha az f függvény. g domború, akkor bármilyen lineáris kombinációja egy f + b g pozitív együtthatók. b is konvex.
- A helyi minimum egy konvex függvény is egy globális minimum (illetve konvex függvények legfeljebb lokális maximum egy globális maximum).
- Bármely stacionárius pont konvex függvény globális csúcs.
- Konvex függvények az egyenlőtlen Jensen:
ahol X - véletlenszerű változó értékek a domain az f függvény. E - az elvárás.