1. fejezet

Fejezet 1. A tengely és a tengely a szegmens. Koordináták egy egyenes vonal

A vonal, amelyen a kiválasztott pozitív irányba, az úgynevezett tengely. Szegmens tengely ogrnichenny amit néhány pont, A és B, az úgynevezett irányított ha megmondani, hogy ezeket a pontokat tartják az elején a szegmens, amely - end. Irányított szegmentum, amelynek a kezdete az A és B vége jelöljük. Érték tengely irányított szegmens hossza, hozott a plusz jel, ha az irányt a szegmens (azaz, az irány az elejétől a végéig) egybeesik a pozitív irányban a tengely, és a mínusz jel, ha a ellentétes irányba, pozitív irányba a tengely. Az érték Jele. - a hossza jelképe. Ha A és B pontok mérkőzés, akkor a szegmens által meghatározott őket az úgynevezett zéró; ocheidno, ebben az esetben, AB = BA = 0 (nulla hosszúságú irányba kell tekinteni bizonytalan).

A bármely pont koordinátáit M a vonal egy (a létrehozott koordinátarendszerben) az a szám, x, értékével egyenlő a szegmens OM:

Point G az eredete; saját koordináta nulla. Ezt követően az M szimbólum a (X) azt jelzi, hogy az M pont van az x koordináta.

Ha - bármely két pont a vonalon, és akkor a képlet

Ez értékét fejezi ki a szegmens. képlet

Ez fejezi ki a hossza.

2. fejezet derékszögű koordinátarendszerben

Derékszögű derékszögű koordináta-rendszert úgy határozzuk meg, lineáris hozzárendelési mérésére szolgáló egység hosszúságú, és két egymásra merőleges tengely, számozott bármilyen sorrendben.

A metszéspont a tengelyek az úgynevezett származási tengelyek magukat - koordinátatengelyeken. Az első a koordinátatengelyek nevezzük az x-tengely, a második - az ordináta tengelyen.

A származási jelzi az O betű abszcissza - jelképe Oh. y tengely - jelképe Oh.

Koordinátáit egy tetszőleges pont M egy adott rendszerben hívószám

(Lásd az 1. ábrát ..), Ahol és a nyúlvány M pont a tengelyen Ox és Oy jelöli értékét a szegmens abszcissza - a szegmensméret ordináta. A szám x nevezzük az abszcisszán az M pont, a száma a - koordinátái ugyanazon a ponton. M szimbólum (x; y) jelentése, hogy az M pont az a szám, abszcissza x és ordináta Y szám.

Y-tengely osztja a gép a két fél-sík; Az egyik közülük, amelynek székhelye a pozitív irányba az x tengely az úgynevezett jobb, egy másik - balra. Hasonlóképpen, az y-tengely osztja a gép a két fél-sík; A egyikük található, amely a pozitív iránya az y-tengelyen az úgynevezett felső, a másik az alsó.

Mindkét tengely együtt osztják a síkot négy negyedre, amely szám a következő módon: az első koordináta negyedév nevezett, ami abban rejlik, mind a jobb, mind a felső felében, a második - a baloldali mögött, és a felső fele a harmadik - a baloldali mögött és az alján félsíkban, a negyedik - mögött a jobb és az alsó felét.

5. fejezet a szegmens Division ebben a tekintetben

Ha az M pont (x; y) (.) (.) Fekszik az egyenes vonalon áthaladó két adott pont és és adott arány. ahol az M pont osztja a szegmens. koordinátáit az M pont határozza meg a képletek

Ha az M pont a középpontját a szegmens. koordinátáit határozza meg képletek

15. fejezet egyenlet közvetlen sugárzó

A készlet vonalak ponton átmenő S, az úgynevezett közvetlen nyaláb középső S.

Ha - az egyenlet két sor, hogy pontban metszik egymást S, akkor az egyenlet

hol. - mindenféle számok, nem minden nulla, meghatározza egy egyenes vonal, továbbá áthalad a ponton S.

Továbbá, az (1) egyenletben formák. mindig úgy kell megválasztani, hogy meghatározzuk bármely (előre kijelölt) vonal ponton áthaladó S, más szóval, minden sorban gerenda középső S. Ezért, az egyenlet a forma (1) a következő egyenletet a gerenda (központjával S).

Ha. majd elosztjuk egyenlet mindkét oldalát (1) és a hívő. megkapjuk

Ez az egyenlet határozza meg minden egyenes gerenda középső S, azzal az eltéréssel, hogy a megfelelő. vagyis eltekintve a közvetlen

17. fejezet Kör

Ez határozza meg a R sugarú kör középpontú C (;).

Ha opruzhnosti középpontja egybeesik a származás, azaz ha. . majd (1) egyenlet válik

Az ellipszis a pályája pontokat, amelyek a távolságok összege a két fix pont a síkban, az úgynevezett fókusz, állandó nagyobb, mint a távolság a foci. Állandó távolságok összege bármely pontján az ellipszis a gócok általában jelöli a 2a. gócok az ellipszis által kijelölt betűk és. a köztük lévő távolság - a 2c. A definíció szerint egy ellipszis vagy.

Legyen adott egy ellipszis. Ha a tengelyek a derékszögű koordináta rendszerben vannak megválasztva, hogy a fókuszpontok az ellipszis található az x tengely szimmetrikusan a származási Ebben a koordinátarendszerben, az egyenlet az ellipszis adják

ahol; nyilván. Az egyenlet a forma (1) az úgynevezett kanonikus egyenlete az ellipszis.

Ezzel a választott koordináta-rendszer, a koordináta-tengelyek szimmetriatengelye az ellipszis és a származás - közepén szimmetria (ábra.). Szimmetria tengelye az ellipszis egyszerűen csak a tengelye körül, a központ a szimmetria - a központ. A pontok, ahol az ellipszis keresztezi a tengelye, az úgynevezett csúcsai. Ábra. A csúcsok az ellipszis az A „A, B” pont, B. Gyakran ellipszis tengelyek is nevezik szegmensek a'a = 2a és B'B = 2b; együtt a szegmens OA = a nevezett fő tengelye az ellipszis, a szegmens OB = b - kisebb tengelye.

Ha az ellipszis gócok találhatók az y-tengelyen (szimmetrikus az origó körül), az ellipszis egyenletnek ugyanolyan alakú, mint (1), de ebben az esetben; Ezért, ha azt akarjuk, hogy a betű jelentése félig főtengelye, az (1) egyenlet kell lennie a betűk és b cserélve. Azonban a kényelem nyelvi problémák, egyetértünk a levelet, és mindig jelöli a félegyenes található az x tengely, a levél b - tengely található, az y tengelyen, függetlenül attól, hogy a nagyobb, vagy a b. Ha a = b, akkor a (1) egyenlet határozza meg egy kört, amely kezelni egy speciális esete egy ellipszis.

ahol a - félig-nagytengely, az úgynevezett excentricitása ellipszis. Nyilvánvaló, hogy (egy kör). Ha M (x; y) - tetszőleges pont az ellipszis, és a szegmensek (ábra.) Az úgynevezett fokális sugara az M pontban fokális sugarak lehet kiszámítani képletek

Ha az ellipszis által meghatározott (1) egyenlet és a. közvetlen

(Ábra). Nevezzük directrices az ellipszis (ha. Az igazgatónő által meghatározott egyenletek ..

Mindegyik direktrix a következő jellemzőkkel bír: ha r - a távolság a tetszőleges pont a hangsúly az ellipszis, d - távolság ugyanazon a ponton, az egyoldalú ezzel a fókusszal direktrix, az r arány / d állandó megegyezik az excentricitás ellipszis:

Ha a két sík, és hegyesszöget zárnak. proektsieyy a gépen a körön egy, feküdt a gépen. egy ellipszis nagytengelye a; semiminor tengelye b az ellipszis által meghatározott képlettel

Ha a kör alakú henger, mint az útmutató sugarú kör b, a keresztmetszeti síkban a henger ferde, a henger tengelyére hegyesszögben. ellipszis, a kis ellipszisféltengelyek amelynek rvna b; fél nagytengely egy ellipszis által meghatározott képlettel

A hiperbola a pályája pontokat, amelyek a különbség a távolságot két fix pont síkban nazyvaeyh gócok állandó; ezt a különbséget hoznak abszolút érték és jelöljük cherez2a. Fókuszál a túlzó és által kijelölt leveleket. a köztük lévő távolság - a 2c. Definíció szerint túlzás. vagy.

Adott egy hiperbola. Ha dekatovoy tengely derékszögű koordináta-rendszert úgy választjuk meg, hogy a gócok a hiperbola található az x tengely a szimmetrikusan a származási, ebben a koordináta-rendszer az alábbi egyenlet adja a hiperbola

hol. Az egyenlet a forma (1) az úgynevezett kanonikus egyenlete hiperbola. Ezzel a választott koordináta-rendszer, a koordináta-tengelyek szimmetriatengelye a hiperbola, és a származás - közepén szimmetria (ábra.). A szimmetriatengelye a hiperbola a továbbiakban egyszerűen, mint a szimmetriatengelye központ - a központ a hiperbola. Hiperbola keresztezi egyik tengely; metszéspontja csúcsoknak nevezzük a hiperbola. Ábra. A csúcsok a hiperbola pontok az A „és A.

Téglalap oldala a 2a és 2b, szimmetrikusan helyezkednek el a tengelyhez képest, a hiperbola, és viszonyítja a csúcsok, úgynevezett alapvető téglalap hiperbola.

A hossza a 2a és 2b, összekötő a felezőpontja a fő téglalap hiperbola, más néven tengelyeire. Főátlójában a téglalap (a végtelenségig kiterjeszteni) a aszimptotái hiperbola, az egyenletek

meghatároz egy hiperbola, szimmetrikus a koordinátatengelyek, azzal gócok az ordinátán; (2) egyenlet, mint (1) egyenlet az úgynevezett kanonikus egyenlete hiperbola; Ebben az esetben az állandó különbség távolságok bármely pontjáról a gócok a hiperbola a 2b.

Két túlzás, amelyek által meghatározott egyenletek

ugyanabban a koordináta-rendszerben, az úgynevezett konjugált.

Hiperbola egyenlő ellipszis (a = b) az úgynevezett egyenlő oldalú; kanonikus egyenlet

ahol egy - a távolság a központtól a hiperbola a tetejéig, az úgynevezett excentricitása hiperbola. Nyilvánvaló, hogy minden túlzás. Ha M (x; y) - tetszőleges pontja a hiperbola, és a szegmensek (.. lásd az ábrát) nevezzük fókuszpont sugarak M. fókuszpontja sugara a hiperbola ág jobb számítjuk ki képletek

fókuszpontok sugarak a bal oldali ága - a képlet

Ha hiperbola által adott (1) egyenlet, akkor a vonalak által meghatározott egyenletek

nevezzük directrices (lásd. ábra.). Ha hiperbola a következő egyenlet adja (2), a direktrix által meghatározott egyenletek

Mindegyik direktrix a következő jellemzőkkel bír: ha r - a távolság a tetszőleges pont a hangsúly a hiperbola, d - távolság ugyanazon a ponton, az egyoldalú ezzel a fókusszal direktrix, az r arány / d állandó egyenlő ekstsentrisistetu hiperbola:

A parabola a pályája pont, amelyek mindegyike a távolság egy fix pont a síkban, az úgynevezett fókuszpont, egyenlő távolság egy rögzített egyenes vonal, az úgynevezett direktrixét. A hangsúly a parabola által kijelölt F betűvel, a távolság a fókuszt direktrixét - a levél p. A szám p nevezzük paraméter a parabola.

Legyen adott egy parabola. Egy derékszögű derékszögű koordináta-rendszert úgy, hogy az x-tengely áthalad a hangsúly a parabola és merőleges a direktrix a direktrix került a tekintett fókuszpontba irányított; A származási félúton található a fókuszt és direktrixét (ábra.). Ebben a koordinátarendszerben, ez parabola határozza meg az egyenlet

(1) egyenlet az úgynevezett kanonikus egyenlete parabola. Ugyanebben koordinátarendszer direktrixét a parabola egyenlete

Focal sugara egy tetszőleges M pont (x; y) egy parabola (azaz a hossza a szegmens F (M) lehet kiszámítani a következő képlettel

A parabola van egy szimmetriatengelye, az úgynevezett tengelye a parabola, amely metszi egy ponton. A metszéspontja a parabola tengelyével nevű csúcsa. Ha a fenti koordinátarendszerben kiválasztó paraoly tengely egybeesik a vízszintes tengelyen, az csúcs a származás, az egész parabola rejlik a jobb fél síkon.

Ha a koordináta-rendszer úgy van megválasztva, hogy az x tengely tengelyével párhuzamossá a parabola, az eredete - egy vertex, de a parabola fekszik a bal fél-sík (ábra.), Az egyenlete lesz formájában

Abban az esetben, ha a származási és a felső egy vonalban van a tengelye az ordináta, a parabola lesz az egyenlet

ha a felső fél-sík (ábra.), és a

ha az alsó fele (Fig.)

Mind a parabola egyenlet (2), (3) és (4) a (1) egyenlet az úgynevezett kanonikus.