Műveletek vektorokkal vektor összeadás, szorzás egy vektor egy valós szám
Tekintsük a v vektor egy kezdeti pontban származási bármely koordinátarendszerben X-Y a végpont (a, b). Azt mondjuk, hogy a vektor normál helyzetben és hivatkoznak rá, mint a sugár vektor. Jegyezzük meg, hogy egy pár pontot határozza meg a vektor. Így tudjuk használni, hogy olvassa el a vektor. Hangsúlyoznunk kell, hogy azt jelenti, vektor, és a félreértések elkerülése végett, mint általában, írj:
v =.
A koordináta vízszintes skalár komponensei a vektor és a koordináta b skalár függőleges vektor komponensek. Az skalár értünk numerikus szám, nem egy vektor mennyiség. Így, úgy vélik komponenseként forma v. Megjegyezzük, hogy a és b vektorok, és ezeket nem szabad összekeverni a meghatározása a vektor komponense.
Most úgy vélik, ahol A = (x1. Y1) és a C = (X2. Y2). Nézzük meg, hogyan kell megtalálni a sugár vektor egyenértékű. Mint látható az alábbi ábrán, a kezdeti pont átkerül a származás (0, 0). P koordinátákat koordinátái kivonásával Egy a koordinátáit a C. Így, P = (x2 -. X1 y2 - y1), és a sugár vektor.
Meg lehet mutatni, hogy, és ugyanolyan nagyságú és irányú, ezért egyenértékű. Így, =.
1. példa keresése alkatrész, ha a formában C = (- 4 - 3), és F = (1, 5).
Megvan a megoldás
=.
Megjegyezzük, hogy a vektor egyenlő a sugár vektor, amint az a fenti ábrán.
Most, hogy tudjuk, hogyan kell írni egy vektor komponens formájában, nézzük közölt néhány definíciót.
A hossza a v vektor könnyű meghatározni, amikor egy ismert vektor komponensek. V =. van
| V | = V 2 + v 1 2 február 2Ispolzuya Pitagorasz-tétel
| V | = √ v január 2 + v 2 februárban.
Hosszát. vagy az összeget a vetktora v = találtam | v | = √ v január 2 + v 2 februárban.
Két vektor egyenlő, vagy ezzel egyenértékű, ha azok azonos nagyságú és azonos irányú.
Műveletek vektorokkal
Ahhoz, hogy szaporodnak V vektor egy pozitív szám, akkor szorozzuk meg a hosszát ezt a számot. A iránya változatlan marad. Amikor a vektor V megszorozzuk 2, például, annak hossza megduplázódott, de nem változtatja irányát. Amikor a vektor szorozva 1,6, hossza 60% -kal, és az irány ugyanaz. Ahhoz, hogy szaporodnak V vektor a negatív valós szám, szorozza meg a hosszát ezt a számot, és irányt. Például, ha a vektort szorozva (-2), annak hossza megduplázódott, és annak iránya megfordul. Mivel a valós számok működnek skalár szorzó a szorzás vektorok, felhívjuk és skalárszorzat kv úgynevezett skalár többszörösei v.
Egy valós szám k, és a vektor v =. skaláris szorzata k és v
kv = k. =.
Vektor kv egy skalár többszöröse a vektor v. A
2. példa Legyen u = és w =. Keresés - 7W 3U és - 1w.
Most adjuk hozzá a két vektor elemeit használjuk. Hozzáadásához két vektor komponens formájában, mi adjuk hozzá a megfelelő komponenseket. Legyen u = és v =. majd
u + v =
Például, ha v = u w =. majd
v + w = =
Ha u = és v =. majd
u + v =.
Mielőtt meghatározzák a kivonás, vektorok meg kell határozni - v. Szemben a vektor v =. Az alábbi kép, vannak
- v = (- 1) V értékre = (- 1) =
Kivonás vektorok, mint például a u - v magában kivonás a megfelelő komponenseket. Megmutatjuk ez a képviselet u - v how u + (- v). Ha u = és v =. majd
u - v = u + (- V) = + = =
Mi lehet illusztrálni kivonás, vektorok segítségével paralelogramma. mint mi a túl vektorok.
kivonása vektorok
Ha u = és v =. majd
u - v =.
Érdekes összehasonlítani az összeg két vektor azonos különbség két vektor egy paralelogramma. A vektorok u + v és u - v a diagonális egy paralelogramma.
3. példa Hogy a következő számítást, és ahol u = v =.
a) u + v
b) u - 6v
c) 3U + 4v
d) | 5V - 2U |
döntés
a) u + v = + = =;
b) u - 6V = - 6. = - =;
c) 3U + 4V = 3. + 4. = + =;
d) | 5V - 2U | = | 5. - 2. | = | - | = | | = √ (- 29) 2 + 21 2 = √ 1282 ≈ 35,8
Mielőtt a fenti tulajdonságainak vektor összeadás és a szorzás, meg kell adnunk egy speciális vektor - a nulla vektor. A vektor, amelynek kezdőpontja egybeesik a végpontja az úgynevezett nulla vektor. jelentése O, vagy. Ennek értéke egyenlő 0 A hozzáadott vektorok:
V + O = v. + =
Manipulálása vektorok mutatnak azok tulajdonságai megegyeznek a műveletek valós számok.
A tulajdonságai vektor összeadás és szorzás
Az összes vektor u, v, és w, és minden skaláris b és c:
1. u + v = v + u.
2. u + (v + w) = (u + v) + w.
3. v + O = v.
4 1.v = v; 0.v = O.
5. v + (- V) = O.
6. b (CV) = (bc) v.
7. (b + c) v = bv + cv.
8. b (u + v) = bu + bv.
A vektor nagyságát vagy hossza 1 nevezzük egységvektor. A vektor v = ort ott, mert
| V | = | | = √ (- 3/5) + 2 (4/5) 2 = √ 9/25 + 16/25 = √ 25/25 = √ 1 = 1.
4. példa keresése egységet vektorba, amely ugyanabba az irányba, mint vektor w =.
Megoldás Először meg a hossza w:
| W | = √ (- 3) 2 + 5 2 = √ 34. Így, keresünk egy vektor a hossz 1 / √ a 34 W és ugyanabban az irányban, mint a vektor w. Ez a vektor
u = W / √ 34 = / √ = 34.
A vektor u egy egységvektor, mert
| U | = | W / √ 34 | = = √ 9/34 + 25/34 = √ 34/34 = √ 1 = 1.
Ha v egy vektor, és v ≠ O, majd a
(1 / | v |) • v vagy v / | v |,
van egy egységvektor irányába v.
Bár a vektorok lehetnek bármely irányban, a készülék vektorok párhuzamos a x és y tengelyek különösen hasznosak. Ezek a meghatározás szerint
i = és J =.
Bármely olyan vektor lehet kifejezni, mint egy lineáris kombinációja az egység vektor i és j. Tegyük fel például, v =. Togda
v = = + = v1 + v2 = v1 i + v2 j.
5. példa R = Express vektor lineáris kombinációjával i és j.
döntés
R = = 2i + (- 6) J = 2i - 6J.
6. példa Record vektor q = - i + 7j komponensben formában.
Megoldás q = - i + 7j = -1i + 7j =
Vektor műveleteket is végezhetünk, ha írva, mint a lineáris vektorok i és j.
7. példa Ha a = 5i - 2j és b = -i + 8j, kap 3a - b.
döntés
3a - b = 3 (5i - 2j) - (- i + 8j) = 15i - 6J + i - 8j = 16i - 14j.
a látószög
Végpont P vektorok a standard helyzetben az a pont az egység által meghatározott kör (cosθ, sinθ). Így, az egység vektor lehet kifejezni komponens formájában,
u =,
vagy egy lineáris kombinációja az egység vektor i és j,
u = (cosθ) i + (sinθ) j,
ahol a komponensek az u egy a szög függvényében θ felmérés mért óramutató járásával ellentétes irányban az x-tengelyen az e vektor. Amint θ változik 0 és 2π, P pont monitorok kör x 2 + y 2 = 1. Ez magában foglalja az összes lehetséges irányban az egység vektorok, majd az egyenlet u = (cosθ) i + (sinθ) j ismerteti az egyes lehetséges egységvektor a síkon.
8. példa: Számítsuk, és egy vázlatot a készülék vektor u = (cosθ) i + (sinθ) j θ = 2π / 3. Döntetlen az egység kör a vázlatot.
döntés
u = (cos (2π / 3)) i + (sin (2π / 3)) j = (- 1/2) i + (√ 3/2) j
Legyen v = a látószög θ. A meghatározás a tangens függvény, tudjuk meg a komponens szög v:
9. példa Határozza meg a látószög θ a vektor w = - 4i - 3j.
Megoldás Tudjuk, hogy
W = - 4i - 3J =.
Így van
tanθ = (- 3) / (- 4) = 3/4, és θ = tan - 1 (3/4).
Mivel w a harmadik negyedben, tudjuk, hogy van egy szög θ a harmadik negyedben. Megfelelő szög
tan - 1 (3/4) ≈ 37 °, és a θ ≈ 180 ° + 37 °, vagy 217 °.
A szögek közötti vektorok
Amikor egy olyan vektort megszorozzuk egy skalár, az eredmény egy vektor. Amikor a két vektor, az eredmény is egy vektor hozzá. Így várható, hogy a termék két vektor egy olyan vektor, de ez nem az. Skaláris szorzata két vektor egy valós szám, vagy skalár. Ez az eredmény hasznos megtalálása közötti szög a két vektor és meghatározzuk, hogy a két vektor merőleges.
A dot terméke két vektor u = v = jelentése
u • v = u1 .v1 + u2 .v2
(Megjegyzendő, hogy U1 V1 + u2 v2 skalár. Ahelyett, hogy egy vektor.)
10. példa Find a belső termék, ha
u =. és v = w =.
a) u • w
b) w • v
döntés
a) u • w = 2 (- 3) + (- 5) = 1 - 6 - 5 = - 11;
b) w • v = (- 3) 0 + 1 (4) = 0 + 4 = 4.
A skaláris termék felhasználható, hogy meghatározza a szög két vektor. A szög a két vektor közötti az a legkisebb pozitív szögben, amelyet a két irányított szegmens. Így, θ u és v között az azonos szögben, hogy u és v között, és 0 ≤ θ ≤ π.
Ha θ van, a szög két nemnulla vektorok u és v, majd
cosθ = (u • v) / | u || v |.
11. példa: az a szög között, és u = v =.
Megoldás Kezdjük megállapítás u • v, | u |, és | v |:
u • v = 3 (- 4) + 7 (2) = 2,
| U | = √ 3 2 + 7 2 = √ 58. és
| V | = √ (- 4) 2 + 2 2 = √ 20.
Togda
cosa = (u • v) / | u || v | = 2 / √ 58 .√ 20
α = cos - 1 (2 / √ 58 .√ 20)
α ≈ 86,6 °.
erőviszonyok
Ha több erők hatnak egy ponton a tárgy, a vektor összege egyenlő kell legyen nulla, így ez volt az egyensúlyt. Ha van egy erőegyensúly, a tárgy, álló és mozgó egyenes vonalban, nem gyorsulás. Az a tény, hogy a vektor összege nulla legyen kimenet az egyensúlyt, és éppen ellenkezőleg, lehetővé teszi számunkra, hogy megoldja sok alkalmazott problémákat érintő hatáskörét.
12. példa Szuszpenziós egység 350- font egység útján felfüggesztésre két kábel. maradt. Az A pontnál a három erő hat, mint: W egység lehúzza, és R és S (két kábel) felfelé húzzák és kifelé. Keresse meg a terhelés minden kábel.
Megoldás Rajzolj egy ábrát az eredeti pontok minden vektor elején kooordinat. Az egyensúly, az összeget a vektorok egyenlőnek kell lennie kb:
R + S + W = O.
Mi lehet kifejezni minden vektor révén nagyságát és szög:
R = | R | [(cos125 °) i + (sin125 °) j],
S = | S | [(cos37 °) i + (sin37 °) j], és a
W = | W | [(cos270 °) i + (sin270 °) j]
= 350 (cos270 °) i + 350 (sin270 °) j
= -350j cos270 ° = 0; sin270 ° = - 1.
Cseréjével R, S, és W a K + S + W + O, van
[| R | (cos125 °) + | S | (cos37 °)] i + [| R | (sin125 °) + | S | (sin37 °) - 350] J = 0i + 0J.
Ez ad nekünk egy egyenletrendszert:
| R | (cos125 °) + | S | (cos37 °) = 0,
| R | (sin125 °) + | S | (sin37 °) - 350 = 0.
Megoldása ezt a rendszert, hogy
| R | ≈ 280 és | S | ≈ 201.
Így a kábeleket £ 280 és 201 font terhelést.