Alcsoportok - studopediya
Nechayev algoritmus - Polliga - Hellman
A teljes keresési algoritmus megtalálása a diszkrét logaritmus
Diszkrét logaritmus probléma. A megadott értékeket a paraméterek a. b és p. p - elsődleges 1 Definíció. L diszkrét logaritmusa b a bázis egy modulo p az a mérték, amely egyenesen egy számot egy. hogy a száma b: Egy másik neve a diszkrét logaritmus L - kódja b tövénél egy modulo p. Definíció. A legkisebb mértéke, hogy azt szeretnénk, hogy építsenek egy számot modulo p. 1. kap hívják nagyságrendű. Rendeltetése - ord a. Jóváhagyása. Legyen p - elsődleges. A maximális sorrendje száma modulo p értéke o - 1. Jóváhagyása. Legyen p - elsődleges paraméterek a. b kielégítik az alábbi egyenlőtlenségeket 1 1. Számítsuk ki az értéket a k mod p k = 1, 2, 3, ..., amíg a egyenlőség b = a k mod p. 2. k érték. ahol az összehasonlítási végezzük b = a k mod p. Ez egy diszkrét logaritmus. kis lépésekben (Shanks) - nagy algoritmus Legyen n - sorrendben a. 1. Compute m: = én ùahol én ù - a kerekítés felesleges. 2. Construct egy táblázatot párok (j. A j) j = 0, 1, 2 m -1. 3. Compute t: = a - m. eldöntésekor összehasonlítjuk egy m × t = 1 mod p. 5. Ciklus i 0 és m - 1 ellenőrizze, hogy a második komponens g 2. igénypont táblázatban ha g = a j. akkor legyen X = m × i + j Legyen n - sorrendben a. 1. A szám n képviselt formájában n = q × r. q - elsődleges. 3. A algoritmus big - kis lépések találunk y. döntés összehasonlítás 4. Compute t: = a - y. eldöntésekor összehasonlítjuk egy y × t = 1 mod p. 6. Az algoritmus big - kis lépések találunk z. döntés összehasonlítás 1. Határozza meg a diszkrét logaritmus. 2. Határozza meg a sorrendben a számot. 3. Fogalmazza meg a feltételeket a létezését diszkrét logaritmus. 4. Ismertesse keresési algoritmusok diszkrét logaritmus. 5. Ismertesse az algoritmus nagy - kis lépések. 6. Ismertesse az algoritmus Nechayev - Polliga - Hellman. 7. milyen titkosítási algoritmusokat kell oldani a diszkrét logaritmus probléma? Definíció. Panel (G, *) áll több G, ahol a művelet * meghatározása. amely megfelel a három axiómák: Definíció. A csoport (G, *) nevezzük kommutatív (Abel) amennyiben bármely elem egy. b. és c G, az egyenlőség Ha a művelet definiált szorzás művelet”, a csoport azt mondják, hogy multiplikatív neutrális elem e = 1 jelöli inverz egy -1 vagy 1 / a. Ha a művelet definiált hozzáadásával működés +, a csoport azt mondják, hogy additív neutrális elem e = 0, az inverz elem jelöli - a. Meg lehet következtetni a csoport axiómák, hogy a csoport csak egyetlen elemet. Azt is bizonyítani egyediségét inverz elem minden csoport tagjaként. Definíció. A csoport (G, *) véges, ha az elemek száma a G véges. Ebben az esetben, az elemek száma G nevezett sorrendben a csoport (G, *). Bijektív átalakítása bármely beállított csoportot alkotnak alatt működését szorzás transzformációk. 1. A készlet minden nem nulla valós számok, a szorzás művelet - „multiplikatív csoportjában a valós számok» R *. 2. A készlet minden egész alá összeadás művelettel - „adalék számok csoportját» Z. 3. A sor minden vektorok R n alatti térben a működését mellett vektorok. 4. A készlet minden polinomok valós együtthatók polinomok tekintetében az összeadást. Csoportok az 1-4 végtelen sok elemet. Legyen n - természetes szám. Az egész számok Z összehasonlító művelet MODN. Egy MODN. egy ÎZ. Az összehasonlítás művelet több Z MODN oszlik ekvivalencia osztályok megfelelő csoportjaival részlege egész n. 0, 1, 2, .... n-1. Sokasága ekvivalencia osztályok a készlet formák MODN Zn. Minden aritmetikai műveletek <+, –, ´.> Zn által végzett MODN. Példa. Fontolja meg a készlet Z25 = <0, 1, 2,…, 24>. A halmaz elemeit van 13 + 16 = 4, 13 „4 = 2, 13-16 = 22, 15 = 2? Definíció. Legyen egy ÎZn. Reciprok elem az elem egyik tagja által úgynevezett MODN - 1. úgy, hogy egy „a - 1 = 1 MODN. egy reverzibilis elem nevezik MODN. ha van egy visszatérő neki. Felosztása Zn definiáljuk szorzás inverze egy. b = a „b - 1. ha az osztó b invertálható. Példa. A beállított Z25 2 - 1 = 13, mivel Összehasonlítása 2 x = 1 mod25 oldatot ad x = 13. Ennélfogva = 15. 2 15 '2 - 1 = 15' 13 = 195 = 20 mod25. Példa. Váltvaforgató elemek Z9. 1, 2, 4, 5, 7, 8. meghatározásához 5 -1 megoldani összehasonlítás 5 x = 1 mod 9, ami kiad a megoldás a x = 2. 5 - 1 = 2. A készlet Zn adagolási művelet képez egy véges MODN additív csoportja n rend. Bemutatjuk a beállított Zn *. definíció szerint egy részhalmazát Zn. amely csak reverzibilis elemek A készlet Zn * a szorzás a multiplikatív MODN képez véges csoportjából érdekében-nek j (n). Definíció. Legyen egy Î Zn *. Eljárás csoport elem a legkisebb mértékű t. ahol szeretne építeni egy elemet, akkor 1: Rendeltetése t = ord (a). Definíció. Ha ord (a) = j (n) egy Î Zn *. majd nevű tagot egy generátor, vagy egy primitív eleme a csoport. Ha a csoport generál elemet, akkor a csoport az úgynevezett gyűrűs. Jóváhagyása. Minden gyűrűs Abel-csoport. Tulajdonságok generátorok (primitív) elemei a multiplikatív csoport Zn * 1. A csoport Zn * egy generáló elem akkor és csak akkor, ha 4. Ha Zn * - ciklusos csoportot, az elemek száma alkotó csoport egyenlő j (j (n)). 5.Element a Î Zn * egy formázó elem a csoport és csak akkor, ha minden egyes prímosztója p j (n). A csoport a Z21 * j (21) = (3 - 1) (7 - 1) = 12 elemek: 1,2,4,5,8,10,11,13,16,17,19,20. Mindegyik elemnek van egy inverz, például 2-11 = 1, 10 - 1 = 19. A csoport nem ciklikus. Ord (1) = 1, ord (8,13,20) = 2, ord (4,16) = 3, ord (2,5,10,11,17,19) = 6. Formázás elemek - 2, 6, 7, 11: Ha több részcsoportját H G önmagában csoportot alkot a művelet * meghatározott G, a (H, *) nevezzük egy alcsoport (G, *). Például a részhalmaza páratlan egész egy alcsoportja az adalékanyag számok csoportját Z és a részhalmaza páratlan szám, hogy ne legyen egy alcsoportja ebben a csoportban (kiegészítés Z nem határozza meg a művelet, amely részhalmaza, mint az összeg két páratlan szám páros szám). Jóváhagyása. Egy részhalmaza H kialakítva egy alcsoport a csoport (G, *), szükséges és elégséges, hogy az alábbi két feltétel: 1. A művelet eredményeként a * (meghatározott G) pontban megadott bármely két elem h1. h2 részhalmaza H is eleme a H (h1 * h2 Î H). 2. Ha h Î H, akkor annak inverz elem h -1 tartozik H (h -1 Î H). A legegyszerűbb az úgynevezett ciklikus alcsoport, amely bármely csoport G. Mivel minden elem egy Î G képes kötődni „generált” nevű ciklikus alcsoport, amely lényegében képviseli a legkisebb alcsoportjai tartalmazó ez az elem. Bemutatjuk a fogalom fokos elem egy i egy. feltételezve a i = a i - 1 * a. egy 0 = e. Ezzel a definíció mértékben a működési szabályokat fok: minden egész k és m Mivel a művelet a hatványozás eleme a csoport nem megy a csoporton kívül, minden hatalom az elem tartozik egy alcsoport a csoport. Jóváhagyása. Hagyja, hogy a csoport (G, *) tartalmazza az elem egy. Ezután az összes fok eleme egy i így egy gyűrűs alcsoportja által generált egy elem a. Definíció. A legalacsonyabb szintű t. miáltal t = e nevezett sorrendben egy csoport (G, *). ord (a) = t. Jóváhagyása. Ciklikus alcsoportjában által generált elem egy rend t. Ez a rend t. Jóváhagyása. Az, hogy minden eleme a csoport osztja a sorrendben a csoport. Jóváhagyása. (Lagrange-tétel) Az, hogy bármely alcsoportja egy véges csoport osztja a sorrendben a csoport. Már jóváhagyott. Ha ord (a) = t. a tagnak van egy k érdekében egyenlő t / GCD (t. k). Példa. A csoport a Z29 * ORD (24) = 14 24 10 = 20, ord (20) = 14 / GCD (14, 10) = 7. Jóváhagyása. Ha (G, *) - ciklusos csoport n-edrendű. d - osztója n. akkor a csoport (G, *) pontosan j (d) elemeinek sorrendben d. Definíció. Két csoportban (A, *) és (G, ·) nevezzük izomorfak ha létezik bijekciót f. A ® közötti G halmaz elemei A és G, megőrizve fellépés műveleteket. bármely elemek a. b Î A következő egyenlőség f (a * b) = f (a) · f (b) Î G. Példa. A multiplikatív csoport pozitív valós számok, - (R +”.). Az adalékanyag-csoport a valós számok - (R. +). Egy levelezés - log. R + R ® megtartja akció Csoport műveleteket. log (x y) = log (x) + log (y). Következésképpen, a csoport (R +. „) És az (R. +) izomorfak. 1. Határozza meg a csoport. 2. Határozza meg a sorrendben a csoportban. 3. Mi a sorrendje a terméket? 4. Melyik csoportot hívjuk kommutatív? 5. Adjuk meg a ciklusos csoport. 6. Határozza meg a alcsoportok. 7. Határozza meg a gyűrűs alcsoport. 8. Mi az elem a csoport az úgynevezett generátor? 9. Melyek a tulajdonságok a képelemek a csoport Zn *? 10. Fogalmazza Lagrange-tétel. 11. Milyen csoportok izomorfak?
Kapcsolódó cikkek