XVII
Funkcionális sorozat formájában
vagy tömörebben, a fajok száma
Ez az úgynevezett trigonometrikus sor. Állandók úgynevezett együtthatóit trigonometrikus sor.
Ha a sorozat (1) konvergál, összege egy periodikus függvény azzal az időszakkal, mivel mindkettő periodikus függvények a időszakban
A következő probléma.
Mivel a funkció periódusidővel milyen körülmények között az f (x), akkor talál egy trigonometrikus sorozat, amely konvergál ez a funkció?
Ez a probléma kerül terítékre ebben a fejezetben. Meghatározása az együtthatók a Fourier képletek. Tegyük fel, hogy egy periodikus függvény időszakban f (x) olyan, hogy ábrázolható egy trigonometrikus sor konvergens, hogy ezt a funkciót a tartományban, azaz, az összeg a sorozat ..:
Tegyük fel, hogy az integrál függvény a bal oldalon az egyenlet összege az integrálok a feltételeket a sorozat (2). Ez például elvégezhető feltételezve
hogy a numerikus koefficiensek számát a trigonometrikus sor konvergens teljesen, azaz a. e. pozitív numerikus sorozat konvergál
Ezután a sorozatot (1) majorize? és így akkor lehet integrálni távon távú tartományban a. Mi használja ezt a kiszámításához az arány
Integrálása egyenlet mindkét oldalát (2) tartományban akár:
Számoljuk külön minden egész előforduló yryvoy részből áll:
Ahhoz, hogy kiszámítja a száma a többi együttható szükségünk van néhány határozott integrálok, amit felül korábban.
Ha - egészek, akkor a következő egyenletek; ha majd
Kiszámítjuk, például egy első szerves csoportból (I). mert
Hasonlóképpen állíthatjuk elő a többi (I) képletű. Integrálok csoport (II) számítjuk közvetlenül (lásd. Fejezet. X t. I). Most tudjuk számítani az együtthatók a sorozat (2). Ahhoz, hogy megtalálja a koefficiens különösebb értéket megszorozzuk egyenlet mindkét oldalát (2):
Száma, ami a jobb oldalon, majorize, mivel a tagok nem haladja meg az abszolút értéke a pozitív értelemben egy konvergens sorozat (3). Ezért lehet integrálni Terminusonként minden szegmensben.
Integrálása (2) tartományban akár:
Figyelembe véve a (II) és (I), azt látjuk, hogy az összes integrálok a jobb oldali nullával egyenlő „egybeépített együttható rum
Szorzása egyenlet mindkét oldalát (2) hátoldalán az integráló előtt, azt látjuk,
Együtthatók által meghatározott képletek nevezzük a Fourier-együtthatók egy trigonometrikus sorozat (1) az együtthatóknak az úgynevezett f (x) függvény Fourier.
Térjünk vissza arra a kérdésre, mi okozta az elején ebben a szakaszban: milyen tulajdonságokkal kell rendelkeznie egy olyan funkciót építettek neki, és Fourier konvergál az összeg a Fourier-sor épített értékével egyenlő ennek a funkciónak a megfelelő pontokat?
Azt állítjuk, itt egy tétel, amely ad elégséges feltételei a ábrázolhatóságának egy f (x) a Fourier-sor.
Definíció. f (x) szakaszonként monoton függvény nevezzük a szegmenst, ha a szegmens lehet törni egy véges számú pontot időközönként úgy, hogy minden intervallum funkció monoton, t. e. akár nemnövekv® vagy nondecreasing.
A definíció következik, hogy ha f (x) függvény szakaszonként monoton és korlátos a szegmens, akkor lehet, hogy csak az első fajta diszkontinuitás pont. Sőt, ha van egy diszkontinuitás pont alapján, a monotonitás vannak korlátai
t. e. pont, hogy egy elsőrendű töréspontot (ábra. 374).
Most adja meg a következő tétel.
Tétel. Ha egy periodikus függvény f (x) az időszak szakaszonként monoton és korlátos intervallumban, akkor a Fourier épült erre a funkcióra konvergál minden pontján. Összeg kapott szám egyenlő a függvény értéke az f (x) a pontok folytonossági funkciót. A pontok diszkontinuitás az f (x) függvény összegével egyenlő a számtani átlaga határait az f (x) a jobb és a bal oldalon, hogy van. E. Ha egy pont a diszkontinuitás az f (x), akkor
Ebből következik, hogy a tétel osztály műveleteit, amelyek képviselik Fourier, meglehetősen széles. Ezért Fourier széles körben használják a különböző területeken a matematika. Különösen sikeres Fourier használják a matematikai fizika és annak alkalmazása konkrét problémák a mechanika és a fizika (lásd. Sec. XVIII).
Ez a tétel adunk bizonyíték nélkül. A § 8-10 kap másik bizonyíték elegendő feltétele bővülő a funkciókat egy Fourier-sor, amely kapcsolódik valamilyen módon, hogy egy szűkebb osztály műveleteit.